Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

c) x y y ' = 2 x 2 + 3 y 2

Passo 1

Olá! Tudo bem?

Vamos isolar y ' para ver o que acontece

x y y ' = 2 x 2 + 3 y 2 ∴ y ' = 2 x y + 3 y x

Esses termos fracionários repetidos nos lembram da EDO homogênea. Repara que a se a gente fizer x → λ x e y → λ y na EDO

y ' = 2 λ x λ y + 3 λ y λ x ∴ y ' = 2 x y + 3 y x

Percebe que ela fica igualzinha a antes. Então ela é homogênea mesmo. E para resolver, a gente faz a substituição

y = x v ,     y ' = x ' v + x v ' = v + x v '

Aí nossa EDO mudada fica:

v + x v ' = 2 1 v + 3 v

E isso a gente resolve como uma equação separável. Não acredita? Vem ver!

Passo 2

Vamos deixar tudo que está em v de um lado e o que está em x do outro:

v + x v ' = 2 1 v + 3 v

x v ' = 2 v + 2 v

x d v d x = 2 1 + v 2 v

v 1 + v 2 d v = 2 x d x

Integrando os dois lados:

∫ v 1 + v 2 d v = 2 ln ⁡ x + C

Essa integral que ficou a gente resolve com a substituição t = 1 + v 2 :

1 2 ln ⁡ 1 + v 2 = 2 ln ⁡ x + C

Passo 3

Precisamos voltar para a variável y . A gente disse que

y = x v ∴ v = y x

Aí nossa solução final é

1 2 ln ⁡ 1 + y x 2 = 2 ln ⁡ x + C

Prontinho!

Resposta

1 2 ln ⁡ 1 + y x 2 = 2 ln ⁡ x + C

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