Enunciado

Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

x y ' = y ( 1 + ln ⁡ y 2 - ln ⁡ x 2 )

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que fazer é verificar o tipo de EDO que nós temos para resolvê-la:

x y ' = y ( 1 + ln ⁡ y 2 - ln ⁡ x 2 )

Se nós dividirmos tudo por x, teremos:

y ' = y x ( 1 + ln ⁡ y 2 - 1 x ln ⁡ x 2 )

y ' - y x 1 + ln ⁡ y 2 + ln ⁡ x 2 = 0

Vamos simplificar a equação:

y ' - y x 1 + ln ⁡ y 2 x 2 = 0

y ' - y x 1 + 2  ln ⁡ y x = 0

Essa é uma EDO homogênea.

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, nós vamos criar a nova variável para relacionar x com y:

y = x . z

d y d x = d z d x x + z

Vamos substituir na equação:

y ' - y x 1 + 2  ln ⁡ y x = 0

d z d x x + z - x z x 1 + 2  ln ⁡ x z x = 0

d z d x x + z - z 1 + 2  ln ⁡ z = 0

d z d x x = 2 z l n ⁡ ( z )

Essa equação é separável agora, e podemos resolvê-la:

d z d x x = 2 z l n ⁡ ( z )

d z z   l n ⁡ ( z ) = 2 x d x

Agora nós integramos:

∫ d z z   l n ⁡ ( z ) = ∫ 2 x d x

l n ⁡ | ln ⁡ z | = 2 ln ⁡ x + C

l n ⁡ | ln ⁡ z | = ln ⁡ x 2 + C

Resposta

l n ⁡ | ln ⁡ z | = ln ⁡ x 2 + C é solução da equação diferencial.

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