Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

USP, Cálculo 4, P3 2011, Questão 1 item b

Determine a solução da equação

x y ' = y + 2 x e - y / x

Que satisfaz a condição inicial

y 1 = 2

Passo 1

Essa equação é algo muito louco. Vamos isolar y ' para ver se aparece alguma coisa

y ' = y x + 2 e - y / x

Opa, temos duas vezes y / x , então é interessante olharmos se essa função é homogênea.

Para isso primeiro temos que achar f x , y que vai ser encontrada isolando d y d x

d y d x = y x + 2 e - y / x

Assim temos

f x , y = y x + 2 e - y / x

Agora fazemos f λ x , λ y para ver se é igual a f x , y ,

f λ x , λ y = λ y λ x + 2 e - λ y / λ x = y x + 2 e - y / x

Logo vamos ter

f λ x , λ y = f x , y

E essa equação vai ser homogênea

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver uma equação homogênea nos fazer

y = z x

Logo

d y d x = d z d x x + z

Substituindo isso na equação vamos ter

d z d x x + z = z x x + 2 e - z x / x

Arrumando essa equação

d z d x x + z = z + 2 e - z

d z d x x = 2 e - z

Essa equação vai ser separável.

Passo 3

Vamos resolver essa equação separável

d z d x x = 2 e - z

Multiplicando cruzado para ter tudo com z de um lado e tudo com x do outro, vamos ter

d z e - z = 2 d x x

e z d z = 2 d x x

Integrando dos dois lados

e z d z = 2 d x x

e z = 2 ln x + C

Aqui podemos isolar z

z = ln 2 ln x + C

Passo 4

A solução dessa equação envolve na verdade x e y , então temos que voltar para y , lembrando que

y = z x

Temos

z = y x

E a nossa solução vai ser

y x = ln 2 ln x + C

y = x ln 2 ln x + C

Passo 5

Agora temos que achar essa constante C fazendo o valor inicial que ele deu

y 1 = 2

Então

2 = 1 ln 2 ln 1 + C

2 = ln C

Então

C = e 2

E nossa solução vai ser

y = x ln 2 ln x + e 2

Repara que ele deu um valor inicial de x que é maior que 0 então temos que considerar x > 0

x = x

E a nossa solução vai ficar

y = x ln 2 ln x + e 2

É Importante lembrar também que aquele cara dentro do segundo log precisa ser positivo

2 ln x + e 2 > 0

ln x > - e 2 2

Assim

x > e - e 2 / 2

Resposta

y = x ln 2 ln x + e 2

Com

x > e - e 2 / 2

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