Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Uma massa de 9kg desloca de 0,1m para baixo uma mola. Deslocamos a massa de 1 m para baixo e soltamos. Encontre a função s ( t ) que descreve a posição da massa em função do tempo. Use que a aceleração da gravidade é g = 10   m / s 2

Passo 1

Para encontrar a função s(t) que descreve a posição da massa em função do tempo, você pode usar a equação do movimento harmônico simples (MHS) para uma massa em uma mola.

A equação do MHS é dada por:

F = - k x

onde:

- F é a força resultante (a força da mola e a força gravitacional neste caso),

- k é a constante da mola,

- x é a distância da posição de equilíbrio.

Primeiro, você precisa calcular a constante da mola k. Para isso, você pode usar a informação de que a massa se desloca 0,1 m para baixo quando é pendurada na mola.

A força da mola é diretamente proporcional à deformação, então:

k = F x

Onde F é o peso da massa, que é dado por F   =   m g , e g é a aceleração devido à gravidade ( g   =   10   m / s ² )   e x é a deformação ( 0,1   m ) .

k = m g x = 9   k g 10   m / s 2 0,1 m

Passo 2

Agora que você tem o valor de k, pode escrever a equação do MHS:

F = - k x

m a = - k x

Onde m é a massa (9 kg) e a é a aceleração.

A aceleração da massa é a derivada segunda da posição em relação ao tempo, ou seja, a   =   s ' ' ( t ) . Portanto, temos:

- 9 ⋅ 10 = - 90 s ( t )

Isolando   s ' ' ( t ) :

s ' ' t = - 10 s   ( t )

Passo 3

Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:

s t = A cos ⁡ ( 10 t ) + B sin ⁡ ( 10   t )  

Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de A e B.

Você mencionou que a massa foi deslocada 1 m para baixo e solta, o que significa que a posição inicial (quando t   =   0 ) é - 1   m , e a velocidade inicial (quando t   =   0 ) é 0   m / s , porque a massa é solta do repouso.

Portanto, as condições iniciais são:

s ( 0 )   =   - 1   m

s ' ( 0 )   =   0   m / s

Agora, vamos calcular a derivada da função s(t) em relação ao tempo para encontrar s'(t):

s ' t = - A 10 sin ⁡ ( 10 t ) + B √ 10   c o s ⁡   ( 10 t   )      

Passo 4

Usando a condição s ' ( 0 )   =   0   m / s :

0 = - A 10 sin ⁡ 0 + B + 10 cos ⁡ 0 = B 10

Portanto, B = 0.

Agora, usando a condição s ( 0 )   =   - 1   m :

s 0 = A cos ⁡ 0 = A = - 1

Portanto, A   =   - 1 .

A função s(t) final é, portanto:

s t = - cos ⁡ 10 t

Esta é a função que descreve a posição da massa em função do tempo após ser deslocada 1 m para baixo e solta.

Resposta

s t = - cos ⁡ 10 t

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