Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Encontre a solução do seguinte Problema de Valor Inicial:

y ' + 2 y = t e - 2 t ,     y ( 1 ) = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Aqui nós temos uma EDO de primeira ordem linear, que não é separável e não é homogênea.

y ' + 2 y = t e - 2 t

Nesses casos, vamos sempre tentar colocar a EDO na forma:

y ' t + A t ∙ y t = B ( t )

Para achar uma solução na forma:

y t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C

Onde é I ( t ) é chamado fator integrante:

I t = e ∫ A t d t

Vamos lá!

Passo 2

Vamos pegar a nossa EDO:

y ' + 2 y = t e - 2 t

E colocar na forma y ' t + A t ∙ y t = B ( t ) . Comparando, temos:

A t = 2

B t = t e - 2 t

Em seguida, vamos calcular a integral:

∫ A t d t

∫ 2 d t = 2 ∫ d t = 2 t

Jogando esse resultado na fórmula do fator integrante, temos:

I t = e ∫ A t d t

I t = e 2 t

Agora podemos calcular a integral:

∫ I t ∙ B t d t

∫ e 2 t ∙ t e - 2 t d t

∫ t d t = t 2 2 + C

Passo 3

Vamos juntar agora tudo na equação:

y t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C

Ficamos com:

y t = 1 e 2 t ∙ t 2 2 + C

y t = t 2 2 e 2 t + C e 2 t

Chegamos a nossa solução geral. Só não podemos esquecer que a questão também nos deu uma condição inicial:

y ( 1 ) = 0

Então, vamos calcular nossa constante, fazendo:

y 1 = 1 2 2 e 2 ∙ 1 + C e 2 ∙ 1 = 0

1 + 2 C 2 e 2 = 0

1 + 2 C = 0

2 C = - 1 → C = - 1 2

Substituindo na solução geral, temos:

y t = t 2 2 e 2 t + - 1 / 2 e 2 t

y t = t 2 - 1 2 e 2 t

y t = t 2 - 1 e - 2 t 2

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y t = t 2 - 1 e - 2 t 2

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