Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

Ver Teoria

Enunciado

Encontre a solução geral y ( t ) da equação diferencial

d y d t = 2 - e t 3 + 2 y

Passo 1

Para encontrar a solução geral da equação diferencial:

d y d t = 2   -   e t 3   +   2 y  

Primeiro, vamos reorganizar a equação de modo que todas as variáveis y e t estejam de um lado e as constantes do outro lado:

( 3   +   2 y )   d y   =   ( 2   -   e t )   d t

Agora, podemos separar as variáveis y e t, colocando todos os termos relacionados a y no lado esquerdo e os termos relacionados a t no lado direito:

( 3   +   2 y )   d y   =   ( 2   -   e t )   d t

Passo 2

Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:

∫ 3   +   2 y d y   =   ∫ 2   -   e t d t

Vamos calcular essas integrais:

∫ ( 3   +   2 y )   d y   =   3 y   +   y 2   +   C 1

∫ ( 2   -   e t )   d t   =   2 t   +   e t   +   C 2

Agora, nossa equação diferencial integrada fica assim:

3 y   +   y 2   +   C 1   =   2 t   +   e t   +   C 2

Aqui, C1 e C2 são constantes de integração que serão determinadas mais tarde.

Agora, podemos isolar y em um lado da equação:

y 2   +   3 y   =   2 t   +   e t   +   ( C 2   -   C 1 )

Passo 3

Agora, podemos tentar completar o quadrado no lado esquerdo para simplificar a equação:

y 2   +   3 y   +   3 2 2 =   2 t   +   e t   +   ( C 2   -   C 1 )   +   3 2 2

y   + 3 2 2   =   2 t   +   e t   +   C 2   -   C 1 + 9 4

Agora, podemos tomar a raiz quadrada de ambos os lados:

y   + 3 2 =   ± 2 t   +   e t +   C 2   -   C 1 + 9 4

Agora, isole y:

y   =   - 3 2 ±   2 t   +   e t +   C 2   -   C 1 + 9 4

Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

A constante C1 e C2 serão determinadas pelas condições iniciais ou pelas informações específicas do problema.

Resposta

y   =   - 3 2 ±   2 t   +   e t +   C 2   -   C 1 + 9 4

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y x + x 2 y 2 + 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 2 + x y - y 2 d x + x yd y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. xd x + ( y - 2 x )d y = 0
Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. y 2 + 3 x y d x = 4 x 2 + x y d y ; y 1 = 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x d y d x - y = x 2 + y 2