Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Dadas as funções, determine quais são homogêneas.

I- f x , y = 4 x 3 + 3 y 3

II- f x , y = x + x y

III- f x , y = 2 x + x 2

( ) Todas são homogêneas

( ) Todas não são homogêneas

( ) Apenas a II

( ) Apenas a I

( ) Apenas a III

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente veja quais funções são homogêneas. Para uma função ser homogênea, ela tem que atender à seguinte condição:

f t x = t k f ( x )

O que isso quer dizer? Se ela sofrer transformação em suas variáveis, a nova função será proporcional à função original.

Vamos testar as nossas funções então:

I- f x , y = 4 x 3 + 3 y 3

Vamos fazer como na condição:

f t x , t y = 4 t x 3 + 3 t y 3 = 4 t 3 x 3 + 3 t 3 y 3

Colocando t 3 em evidência, teremos:

f t x , t y = t 3 4 x 3 + 3 y 3 = t 3 f ( x , y )

Logo, essa função é homogênea.

Passo 2

Agora, vamos para a segunda função:

II- f x , y = x + x y

Vamos fazer como na condição:

f t x , t y = t x + t x t y = t x + t 2 x y

Colocando t em evidência, teremos:

f t x , t y = t ( x + t x y )

Não obtivemos uma função proporcional à função original, logo essa segunda não é uma função homogênea.

Passo 3

Agora, vamos para a terceira função:

III- f x , y = 2 x + x 2

Vamos fazer como na condição:

f t x , t y = 2 t x + t x 2 = 2 t x + t 2 x 2

Colocando t em evidência, teremos:

f t x , t y = t ( 2 x + t x 2 )

Novamente, não obtivemos uma função proporcional à função original, logo essa terceira também não é uma função homogênea.

Resposta

Apenas a I

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