Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Resolva as equações diferenciais:

b y ' =   2 y 2 + 3 x y x y + 2 x 2

Passo 1

Essa equação ta com muita cara de homogênea. Vamos calcular f ( t x , t y ) e descobrir.

d y d x = 2 t y 2 + 3 ( t x ) ( t y ) t x t y + 2 t x 2 = 2 y 2 + 3 x y x y + 2 x 2

f t x , t y = f ( x , y )

Logo essa equação é homogênea e podemos usar a mudança de variável y = u x

Passo 2

Fazendo então a mudança e lembrando que u = u x . Derivando em relação a x obtemos

y ' = u + x u '

Substituindo isso na equação original temos

u + x u ' = 2 u x 2 + 3 x u x x u x + 2 x 2

x u ' = u 2 u + 3 u + 2 - u

x u ' = u 2 + u ( u + 2 )

u + 2 u 2 + u   d u = 1 x   d x

Antes de integrar, vamos escrever aquela fração de forma mais simples:

u + 2 u 2 + u = u + 2 u ( u + 1 ) = 2 u - 1 ( u + 1 )

Voltando...

∫ 2 u - 1 u + 1 d u = ∫ 1 x d x

2 l n ⁡ | u | - l n ⁡ | u + 1 | = ln ⁡ x + C

Passo 3

Voltando para as variáveis originais

2 l n ⁡ | u | - l n ⁡ | u + 1 | = ln ⁡ x + C

ln ⁡ y x 2 - ln ⁡ y x + 1 = ln ⁡ x + C

ln ⁡ y x 2 y x + 1 = ln ⁡ x + C

ln ⁡ y 2 x y + x 2 = l n ⁡ | x | + C

y 2 x y + x 2 = e ln ⁡ | x | + C

y 2 x y + x 2 = A x

Passo 4

Agora a gente só precisa olhar pro denominador desse cara que encontramos:

x y + x 2 ≠ 0

Se isso for igual a zero, teremos outras soluções:

x y + x 2 = 0 → x y + x = 0

x = 0 → y = 0

y + x = 0 → y = - x

Resposta

y 2 x y + x 2 = A x ,   ∀ A ∈ R y = 0 y = - x

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