Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade se for o caso.

x 3 + 2 x y 2 - y 4 x

Passo 1

Repara que não tem como eu isolar x e y . Essa EDO não é separável. Deste modo, pode trata-se de uma EDO homogênea. Vamos confirmar isso?

Para testar se é uma EDO homogênea mesmo, temos que pegar o x e o y da nossa EDO e substituir por t x e t y respectivamente. Então vamos calcular f ( t x , t y )

f ( t x , t y ) = t x 3 + 2 t x t y 2 - t y 4 t x

Arrumando a função,

f t x , t y = t 3 x 3 + 2 x y 2 - y 4 x = t 3 f ( x , y )

Viu que a EDO não mudou? Esse é o critério para ver se é homogênea. Temos que fazer essa troca e ver se a EDO não mudou. Logo a função é homogênea

Passo 2

O grau de homogeneidade é definido pelo n presente na seguinte equação

f t x , t y = t n f ( x , y )

Entao no nosso caso o grau de homogeneidade é 3.

Resposta

A função é homogênea e tem grau de homogeneidade igual a 3.

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