Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 33

33) Verifique que a seguinte integral independe do caminho e calcule o seu valor:

I = 0   ,   2 1   ,     3 3 x 2 y   d x - x 3 y 2   d y

Passo 1

Então, resolver uma integral de linha no caso vetorial, existem, agora, três formas de resolvê-la:

1º - Forma direta.

2º - Teorema de Green.

3º - Com funções potenciais.

Aqui não precisa de muito para falar que o caminho que vamos utilizar para resolver essa integral é o 3 º mesmo, pois sabemos que uma integral sempre terá um mesmo resultado não dependendo do caminho quando existe a função potencial f , sacou?

Então vamos procurar essa função potencial!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela definição de função potencial f , essa função é tal que:

F = f

Como o gradiente de f é:

f = f x ,   f y  

F = f x ,   f y

3 x 2 y ,   - x 3 y 2   = f x ,   f y

Onde tiramos duas igualdades:

3 x 2 y = f x                                 1 º

- x 3 y 2 = f y                                                                 2 º

Passo 3

Com a primeira igualdade calculemos uma integral “revertendo” a derivada e voltando para a função f ...

f = 3 x 2 y     d x + G y

Porém repare que apareceu uma função que depende somente de y ali, pois caso derivemos novamente essa função em relação à x , ela desaparece por ser considerado uma “constante” perante x , logo... Na integral ela reaparece, sacou?

Calculando essa integral com relação à x , portanto, tomando y como uma constante...

f = 3 y x 2     d x + G y  

f = 3 y x 3 3 + G y

f = x 3 y + G y

Passo 4

Basicamente essa é a função potencial, porém, como você pode ver, ainda falta uma coisa a descobrir, a função G y . Façamos isso utilizando a segunda igualdade... - x 3 y 2 = f y

Derivando a função f que determinamos em relação à y então...

f = x 3 y + G y                     f y = y x 3 y + G y y

Esse segundo termo de derivada é uma derivada simples, pois G só depende de y ...

            f y = y x 3 y + G ' y  

Derivando...

f x = - x 3 y 2 + G ' y  

E agora comparando com a igualdade número 2 ...

- x 3 y 2 = - x 3 y 2 + G ' y  

G ' y = 0

Logo... A única forma dessa derivada zerar é se a função for uma constante...

G y = k

Então a função potencial finalmente é

f = x 3 y + G y        

f = x 3 y + k

Função potencial encontrada então o campo é conservativo!

Passo 5

Para matar a charada, antes apenas lembre que com uma função potencial f em mãos, calculamos uma integral de linha muito fácil tendo apenas o ponto inicial A e o ponto final B , pois...

A B F d r = f B - f A

Então...

I = 0   ,   2 1   ,     3 3 x 2 y   d x - x 3 y 2   d y

Se o ponto A é 0 ,   2

f 0 ,   2 = 0 3 2 + k               f A = k

e B = 1   ,   3

f 1   , 3 = 1 3 3 + k                 f B = 1 3 + k

Então...

C   F d r = f B - f A =

1 3 + k - k =

1 3

Resposta

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