Calcule a integral de linha

∫ c 1 - y e - x d x + e - x   d y ,

onde c é um caminho suave unindo os pontos 0,1 e 1,2 .

Passo 1

Ele diz para gente para calcular uma integral de linha vetorial sobre a curva c . Mas repara que o campo é feinho.

Nesses casos é bom começar calculano o rotacional desse campo, para ver se podemos usar outro caminho para calcular essa integral.

Nosso campo é

F = F 1 ,   F 2 = 1 - y e - x ,   e - x

A fórmulinha do rotacional é

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Aí calculamos:

r o t   F → = ∂ e - x ∂ x - ∂ 1 - y e - x ∂ y

r o t   F → = - e - x - 0 - e - x

r o t   F → = 0

Ih olha só! Deu zero. Isso quer dizer que nosso campo pode ser conservativo.

Como vemos que as funções que o compõem são contínuas e suas derivadas parciais também, para todos os x , y , a gente pode afirmar mesmo que ele é conservativo!

Isso vai facilitar muito nossa vida. Vem ver!

Passo 2

Vamos começar listando as características de um campo F conservativo, se tiver uma delas, é conservativo! São 4:

  1. O campo tem uma função f , tal qual F = ∇ f . Ou seja, ele tem função potencial.
  2. r o t   F → = 0 , e F e suas derivadas estão bem definidas em um domínio sem “buracos”.
  3. A integral de linha vetorial sobre qualquer curva fechada é nula:
  4. ∮ C F → ⋅ d r = 0

  5. As integrais de linha vetoriais nele não dependem do caminho e valem:

∫ P 1 P 2 F → ⋅ d r = f P 2 - f P 1

Lembrando que esse f é a função potencial do campo.

No que isso ajuda a gente? Cara, a gente percebeu que nosso campo é conservativo por causa da característica 2 .

Mas repara na 4: ela diz como calcular uma integral de linha vetorial, só usando os pontos que P 1 e P 2 (ínicio e final da nossa curva) e a função potencial do campo.

E a gente quer calcular

∫ c 1 - y e - x d x + e - x   d y

Que é uma integral de linha. E temos o ponto inicial e final da curva c :

P 1 = 0,1 ,     P 2 = 1,2

Só falta a função potencial f para conseguirmos calcular essa integral aí, né? Vamos a achar então!

Passo 3

Cara, como a gente faz isso? Primeiro, a gente lembra que se o campo é conservativo, temos que o campo é igual ao vetor gradiente da função potencial:

∇ f = f x , f y = F

Nosso campo é

F = 1 - y e - x ,   e - x

f x , f y = 1 - y e - x ,   e - x

Daí a gente tira que

f x = 1 - y e - x

Se a gente integrar isso em relação a x :

f = ∫ 1 - y e - x d x = x + y e - x + A y

E quem é aquele termo A y ali? É porque se a gente derivar f em relação a x e tiver uma função de y somando do lado, ela zera né? Então quando a gente faz o caminho inverso, precisamos supor que ela poderia estar ali na nossa função.

Obs: aqui você não precisa se preocupar em colocar a constante C da integral indefinida, tá?

Passo 4

Do gradiente tiramos também que

f y = e - x

Se a gente integrar isso em relação a y :

f = ∫ e - x d y = y e - x + B x

Repara que apareceu um termo B x ali, porque agora a gente está fazendo o caminho inverso da derivada em relação a y .

Passo 5

Agora é comparar essas expressões de f , para achar A y e B x , e assim a expressão final da nossa função:

f = x + y e - x + A y

f = y e - x + B x

Repara que na primeira, a gente tem aquele termo A y , mas na segunda, não há nenhum termo em soma só com uma função de y . Daí tiramos que

A y = 0

Mas repara que na segunda a gente tem o termo B x , e na primeira, a gente tem o x sozinho em soma com y e - x . Isso diz para a gente que

B x = x

Aí nossa função potencial é:

f x , y = x + y e - x

Passo 6

Agora temos tudo para calcular a integral de linha vetorial:

∫ P 1 P 2 F → ⋅ d r = f P 2 - f P 1

Substituindo nossos dados:

∫ c 1 - y e - x d x + e - x   d y =

= ∫ ( 0,1 ) 1,2 1 - y e - x d x + e - x d y = f 1,2 - f 0,1

Como

f x , y = x + y e - x

f 1 , 2 = 1 + 2 e - 1 = 1 + 2 e

f 0,1 = 0 + e 0 = 1

Temos que

∫ c 1 - y e - x d x + e - x   d y = 1 + 2 e - 1 = 2 e

Resposta

2 e

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2