Calcule ∫ C   ∇ f . d r , sobre o caminho C : r t = t , t 2 , t 8 ,   0 ≤ t ≤ 1 e para o campo escalar f x , y , z = x 2 y z + x z 2 - 2 x y 2 + x - 2 z - 1 s e n   x ;

Passo 1

Bom, pelo Teorema Fundamental do cálculo, nós sabemos que a integral de uma função vetorial F tal que:

F → = ∇ f

Sobre uma curva com pontos inicial e final ( A ) e ( B ) é dada por:

∫ C   F . d r = f B - f ( A )

Nesse caso, fica simples porque o problema já nos deu o potencial:

f x , y , z = x 2 y z + x z 2 - 2 x y 2 + x - 2 z - 1 s e n   x

Precisamos então descobrir quem são esses pontos inicial e fimal, substituindo t = 0 e t = 1 na parametrização de C :

A = r 0 = ( 0,0 , 0 )

B = r 1 = ( 1,1 , 1 )

Passo 2

Agora, precisamos achar f A e f B :

f 0,0 , 0 = 0

f 1,1 , 1 = 1 + 1 - 2 + 1 - 0 = 1

Passo 3

Aplicando o Teorema, temos:

∫ C   ∇ f . d r = f B - f A = 1 - 0 = 1

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2