(Cap.16.3 - Exercício 35) Seja F x , y = − y i + x j x 2 + y 2

(a) Mostre que ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x .

(b) Mostre que ∫ C F ⋅ d r não é independente do caminho. [Dica: Calcule ∫ C 1 F ⋅ d r e ∫ C 2 F ⋅ d r onde C 1 e C 2 são as metades superior e inferior do círculo x 2 + y 2 = 1 de 1,0 a − 1,0 .] Isso contradiz o Teorema 6 ?

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom gente, para resolver nossa questão devemos primeiro começar resolvendo as derivadas parciais. Em seguida, temos que lembrar de um detalhe, para que a integral de linha não dependa do caminho é necessário que ∫ C F ⋅ d r = 0 e por fim, devemos lembrar o que nos diz o teorema 6.

Agora vamos de fato para a resolução...

Passo 2

(a) Calculando as derivadas parciais onde:

P = − y x 2 + y 2

Q = x x 2 + y 2

Primeiro a derivada de P em relação a y

∂ P ∂ y = − x 2 + y 2 + y 2 y x 2 + y 2 2 = y 2 − x 2 x 2 + y 2 2

E agora de Q em relação a x

∂ Q ∂ x = x 2 + y 2 − x 2 x x 2 + y 2 2 = y 2 − x 2 x 2 + y 2 2

Temos que:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Passo 3

  1. Sabe-se que para a integral de linha que independe do caminho, temos que

∫ C F ⋅ d r = 0

Se pegarmos um círculo fechado e calcularmos a integral, sem obter zero, provamos que a integral depende do caminho.

Pegando a circunferência unitária como C e parametrizando da forma:

C : r t = c o s t , s e n t , 0 ≤ t ≤ 2 π

Temos que

∫ C F ⋅ d r = 0 = ∫ 0 2 π F r t ⋅ r ' t d t

Passo 4

Calculando F r t e r ' t

F x , y = − y i + x j x 2 + y 2

F r t = − s e n t i + c o s t j c o s 2 t + s e n 2 t = − s e n t , c o s t

r ' t = − s e n t , c o s t

Substituindo na integral, temos:

∫ 0 2 π F r t ⋅ r ' t d t = ∫ 0 2 π − s e n t , c o s t ⋅ − s e n t , c o s t d t

∫ 0 2 π s e n 2 t + c o s 2 t d t = ∫ 0 2 π d t = 2 π

Então, conclui-se que a integral de linha de F depende do caminho e F não é conservativo.

Isso não vai contradizer o teorema 6, pois o domínio de F não contém a origem e a circunferência centrada na origem não pode ser colocada em uma região simplesmente conexa que contenha C , fazendo com que não possamos usar o teorema e de fato a função não é conservativa.

Bora fazer mais problemas?!

Bons Estudos!

Resposta

Resolução nos passos acima :)

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