Considere o campo F x , y = g y ,   x 1 + y e y ,   onde g : R → R é uma função de classe C 1

a) Mostre que, para qualquer escolha de g y ,   o trabalho do campo F ao longo do segmento indo do ponto A = a , c ao ponto B = b , c vale b - a g c .

b)Determine todas as escolhas de g ( y ) para as quais o campo F é conservativo, e encontre um potencial para F nesse caso.

c) Supondo F conservativo, calcule o trabalho de F ao longo do arco da curva y = x + s e n x ,   indo do ponto 0,0 ao ponto π ,   π .

Passo 1

Letra a)

O trabalho de um campo ao longo de uma curva é a integral de linha desse campo

∫ C F   d r

No nosso caso a nossa curva C será um segmento de reta parametrizado por

σ t = t , c ,   t ∈ [ a , b ]

Para calcular uma integral de linha temos a fórmula

∫ C F   d r = ∫ a b F σ t . σ ' ( t ) d t

Esse F σ t é a aplicação da parametrização da curva aplicada no campo. Lembrando que a F x , y = g y ,   x 1 + y e y , ao aplicar a parametrização ficamos com:

F σ t = g c , t 1 + c e c

Falta calcular a derivada da minha parametrização:

σ ' t = 1,0

Substituindo o que a gente tem na integral:

∫ C F   d r = ∫ a b g c , t 1 + c e c . ( 1,0 ) d t

Fazendo a multiplicaão escalar ficamos com:

∫ C F   d r = ∫ a b g c ) 1 + ( t 1 + c e c ( 0 ) d t = ∫ a b g c d t

= ( b - a ) g ( c )

Passo 2

Letra b)

Uma das condições para termos campo conservativo é ele ser irrotacional, ou seja:

r o t F x , y = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Substituindo para a função F do problema, sendo F 1 =   g y e F 2 = x 1 + y e y  

r o t F x , y = ∂ ( x 1 + y e y ) ∂ x - ∂ g y ∂ y = 0  

∂ ( x 1 + y e y ) ∂ x = 1 + y e y   e ∂ g y ∂ y = g ' ( y )

Temos que ter então:

g ' ( y ) =   1 + y e y

Vamos agora integrar com relação a y :

g y = ∫ 1 + y e y d y

Separando em duas integrais:

∫ 1 + y e y d y = ∫ e y d y + ∫ y e y d y

A primeira integral:

∫ e y d y = e y

A segunda é necessário fazer integração por partes

u = y d v = e y d y d u = d y v = e y

∫ y e y d y = y e y - ∫ e y d y = y e y - e y

Vamos ter então que que a nossa função g y tem que ser:

g y = e y + y e y - e y = y e y + C

Não esqueca da constante que aparece por conta da integral indefinida que usamos.

Passo 3

Passo 4

Para encontramos um potencial associado a um campo conservativo fazemos:

F → = ∇ f

Onde (nabla) é o operador diferencial:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Temos então o seguinte:

y e y ,   x 1 + y e y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Vamos igualar agora cada termo:

∂ f ∂ x = y e y

∂ f ∂ y =   x 1 + y e y

Para o primeiro termo vamos integrar somente com relação a x e considerar o que for só função de y como constante:

f = ∫ g ( y e y ) d x = x y e y + A ( y )

OBS.: Esse A ( y ) aparece porque quando temos a derivada parcial, consideramos tudo que estiver em função de y constante.

Para o outro termo vamos integrar somente com relação a y e considerar x   como constante

f = x ∫ 1 + y e y d y + B x

Separadando essa integral em duas:

x ∫ 1 + y e y d y = x ∫ e y d y + x ∫ y e y d y

A primeira temos:

x ∫ e y d y = x e y

Para a segunda vamos fazer integral por partes:

x ∫ y e y d y

u = y d v = e y d y d u = d y v = e y

x ∫ y e y d y = x y e y - ∫ e y d y = x y e y - e y

f = x e y + x y e y - e y + B x

f = x y e y + B ( x )

Comparando as duas f   que achamos:

f = x y e y + A ( y )

f = x y e y + B ( x )

Vamos ter que a a nossa função será somente

f = x y e y + C

Não esqueça da constante porque se trata de uma família de funções de f

Passo 5

Letra c)

Como a questão pediu que considerássemos F um campo conservativo, vale que a integral de linha desse campo é igual ao potencial no ponto final menos o potencial no ponto inicial. Isso vai facilitar bastante a nossa vida!!

Usando a função potencial que encontramos anteriormente

f = x y e y + C

Vamos ter então:

∫ C F d r = f π ,   π - f ( 0 , 0 )

f π ,   π = π π e ( π ) + C = π 2 e π + C

f 0 , 0 = 0 0 e ( 0 ) + C = C

∫ C F d r = π 2 e π

Resposta

a )   f ' x = 2 cos 2 ⁡ x - 4 x   s e n x   c o s x 1 + 2 x cos 2 ⁡ x

b )   y = 2 x + 3  

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