Exercícios Resolvidos de Função Potencial

Consideremos um arame que tem a forma do segmento de reta C   de (-1,5,0) a (1,6,4).

  1. Seja ρ x , y , z = x + 2 y - z a função densidade linear do arame. Determine a massa do arame.
  2. Seja F → x , y , z = ( 3 x 2 y z - 3 y ,   x 3 z - 3 x ,   x 3 y + 2 z ) . Use o teorema fundamental das integrais de linha para calcular

∫ C F →   d r →

Passo 1

  1. Vamos começar parametrizando esse segmento de reta.
  2. r t = P 0 + n →   t

    Onde n →   é o vetor que indica a direção da reta.

    Pra acharmos esse vetor fazemos:

    n → = P 2 - P 1 = 1,6 , 4 - ( - 1,5 , 0 )

    n → = ( 2,1 , 4 )

    Agora vamos ver como fica nossa parametrização, onde P 0 é algum ponto que percença a reta. Vou optar por usar (-1, 5, 0) por ter z = 0 para diminuir os números que vamos trabalhar.

    r t = - 1,5 , 0 + 2,1 , 4 t

    r t = ( - 1 + 2 t ,   5 + t ,   4 t )

    Passo 2

    Para encontrarmos o intervalo de variação do nosso parâmetro t fazemos:

    r t i = - 1 + 2 t ,   5 + t ,   4 t = ( - 1,5 , 0 )

    - 1 + 2 t = - 1 5 + t = 5 4 t = 0 → t = 0

    r t f = - 1 + 2 t ,   5 + t ,   4 t = ( 1,6 , 4 )

    - 1 + 2 t = 1 5 + t = 6 4 t = 4 → t = 1

    Então ficamos que 0 ≤ t ≤ 1 .

    Passo 3

    Agora, para determinar a massa do arame fazemos:

    r → ' ( t ) = 2 2 + 1 2 + 4 2 = 21

    Precisamos de:

    ∫ C ρ x , y , z d s

    Onde d s = r → ' ( t ) d t , e temos que escrever nossa função densidade em função do novo paramentro (   ρ ( r ' ( t ) ) )

    ρ r ' t = ( - 1 + 2 t + 2 . 5 + t - ( 4 t )

    ρ r ' t = 9

    Logo:

    ∫ C ρ ( r ' ( t ) ) . r → ' ( t ) d t

    ∫ 0 1 ( 9 ) . 21 d t

    9 21

    Passo 4

  3. Para fazer oque é pedido na questão, precisamos mostrar que estamos trabalhando com um campo conservativo, encontrando f .

f x = ∫ F 1   d x = ∫ 3 x 2 y z - 3 y   d x = x 3 y z - 3 x y

f y = ∫ F 2   d y = ∫ x 3 z - 3 x   d y = x 3 z y - 3 x y

f z = ∫ F 3   d z   = ∫ x 3 y + 2 z   d z =   x 3 y z + z 2

Ficamos então que

f = x 3 y z - 3 x y + z 2 + x 3 z y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra finalizar então aplicamos que:

∫ C F   d r = f P 2 - f P 1

= f 1,6 , 4 - f ( - 1,5 , 0 )

= 1.6 . 4 - 3.1 . 6 + 4 2 + 6 - ( - 1.5 . 0 - 3 . - 1 . 5 + 0 2 + 5 )

= 2 8 - 20

= 8

Resposta

a   9 21  

b   8

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