Exercícios Resolvidos de Função Potencial

Campos conservativos

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando (atenção: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

O campo vetorial F x , y = - x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 é conservativo no semi-plano y > 0 .

Passo 1

Esse campo apresenta singularidade no ponto ( 0,0 ) , porém, considerando o domínio:

D = ( x , y ) | y > 0

O campo está definido em D , pois excluímos a parte em que y = 0 . Beleza, então temos um domínio simplesmente conexo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, basta que:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Para que o campo seja conservativo. Vamos calcular isso aí então:

∂ F 2 ∂ x = - y 2 x x 2 + y 2 2 = - 2 x y x 2 + y 2 2

∂ F 1 ∂ y = - - x ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = 2 x y x 2 + y 2 2

Muita calma nessa hora, temos o seguinte:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 2 x y x 2 + y 2 2 - 2 x y x 2 + y 2 2 = - 4 x y x 2 + y 2 2 ≠ 0

Não deu zero, então o campo não é conservativo e a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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