(a) Determine uma função f tal que F = ∇f e (b) use a parte (a) para calcular ∫ C F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F   ( x ,   y , z )   =   ( y ² z + 2 x z ² )   î   +   2 x   y z   ĵ +   ( x y ²   + 2 x ² z )   k , C : r ( t )   =   t     î   + t + 1 ĵ + t ²   k ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para determinar uma função escalar f, tal que o campo vetorial F(x,y,z) possa ser escrito como gradiente desse campo escalar:

F ( x , y , z ) = ∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Se isso ocorrer, a integral de linha do campo vetorial F entre dois pontos A e B não depende do caminho e o campo F é chamado campo vetorial conservativo. Então, vamos verificar se existe alguma função f tal que F seja gradiente dela, para podermos calcular a integral de caminho de F do ponto t = 0, ( 0,1 ,   0 ) , até o ponto t = 1, (1,2, 1). Então vamos lá verificar!

Passo 2

Como a componente x da função F é dada por y ² z + 2 x z ² , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y e z como constantes, é dada por

∫ y ² z + 2 x z ² d x = x y ² z + x ² z ² + C ( y , z )

Onde C(y,z) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y e z, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x e z como constantes. Integrando, obtemos

∫ 2 x   y z     d y = x y ² z + C ( x , z )

Onde C(x,z) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de x e z, já que estamos integrando apenas em y. Agora, finalmente, fazemos a mesma coisa para a componente z de F, dessa vez, integrada em z, considerando x e y como constantes. Integrando, obtemos

∫ x y ²   + 2 x ² z d z = x y ² z + x ² z ² + C ( x , y )

Das expressões para as integrais de F x   e F z   vemos que as integrais são iguais, sem a necessidade da adição de uma função apenas de y, C(y). O termo xy²z está presente nos 3 resultados e podemos identificar C(x,z) como x²z², que está presente tanto na integral de F x   , quanto em F z   , enquanto que não há necessidade de adicionar funções C(x,y) e C(y,z) para que os resultados sejam iguais. Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais f tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:

f ( x , y ) = x y ² z + x ² z ² +   c t e

Se derivarmos f em relação à x, obtemos a componente F x   , se derivarmos f em relação à y, obtemos a componente F y   e se derivarmos em relação à z, obtemos F z , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial f e, portanto, é conservativo. Ou seja, podemos calcular a integral de linha entre os pontos (0,1,0) e (1,2,1) sem nos preocupar com o caminho escolhido. Então bora lá integrar!

Passo 3

Como a integral não depende do caminho, vamos definir uma curva r(t) parametrizada por um parâmetro t, tal que

r ( t ) = ( t , t + 1 ,   t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

Onde a curva começa no ponto (0,1,0) e termina no ponto (1,2,1).

Então, sobre essa curva, o campo vetorial F assume a forma

F ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = ( t + 1 ) ² t + 2 t ³ ,   2 t ² ( t + 1 )   , t ( t + 1 ) ² + 2 t ³  

Agora, precisamos calcular um vetor tangente à curva v = d r d t , tal que possamos escrever os deslocamentos dx e dx em função de dt. Calculando um vetor tangente à curva r(t), obtemos

v = d r d t = d d t t , t + 1 ,   t = ( 1,1 , 1 )

Então, podemos escrever dx e dy como

d x = d x d t d t = 1 ⋅ d t

d y = d y d t d t = 1 ⋅ d t

d z = d z d t d t = 1 ⋅ d t

Então, para calcular a integral de linha de F ao longo da curva r(t), fazemos o produto escalar de F com d r = v ⋅ d t . Assim, obtemos

∫ 0 1 ( 3 t ³ + 2 t ² + t ) d t + ∫ 0 1 ( 2 t ³ + 2 t ² ) d t + ∫ 0 1 ( 3 t ³ + 2 t ² + t ) d t = 2 t ⁴ + 2 t ³ + t ² = 5

Então, apesar de termos utilizado uma curva diferente da definida no enunciado, temos que a integral de F ao longo da curva C : r ( t ) = t     î   + t + 1 ĵ + t ²   k ,     0 ≤ t ≤ 1 é igual à 5, pois a integral não depende do caminho.

Resposta

f ( x , y ) = x y ² z + x ² z ² +   c t e

∫ C F ⋅ d r = 5

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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2