Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F   =   ∇ f   :

  1. F   ( x ,   y )   =   ( 2 x   −   3 y )   î   +   ( − 3 x   +   4 y   −   8 )   ĵ

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos define um campo vetorial que, para cada ponto (x,y) do plano cartesiano nos retorna um vetor de duas componentes dada pela função F. Agora, a gente tem que determinar se o campo vetorial F é conservativo. Mas quando um campo vetorial é conservativo? Quando a integral de linha dele entre dois pontos não depende do caminho! Ou seja, entre dois pontos A e B, não importa por onde integramos F, sua integral só depende do ponto inicial e final.

Isso ocorre quando o campo vetorial pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial

F = ∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Então, tudo que precisamos fazer é verificar se as componentes de F correspondem ��s derivadas parciais de algum campo escalar f. Para isso, vamos precisar integrar as componentes de F. Então, bora lá!

Passo 2

Como a componente x da função F é dada por 2 x   −   3 y , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por

∫ 2 x   −   3 y d x = x ² - 3 y x + C ( y )

Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos

∫ − 3 x   +   4 y   −   8 d y = - 3 x y + 2 y ² - 8 y + C ( x )

Da expressão para a integral de F x   vemos que a função C(x) deve ser algo da forma C ( x ) = x ² . Por outro lado, da integral para F y , vemos que a função C(y) deve ser da forma

C ( y ) = 2 y ² - 8 y . Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais f tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:

f ( x , y ) = - 3 x y + 2 y ² - 8 y + x ² +   c t e

Se derivarmos f em relação à x, obtemos a componente F x   , e se derivarmos f em relação à y, obtemos a componente F y   , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial f e, portanto, é conservativo.

Resposta

F é conservativo.

f ( x , y ) = - 3 x y + 2 y ² - 8 y + x ² +   c t e

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