Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F   =   ∇ f   :

b) F   ( x ,   y )   =   e x   c o s   y   î   +   e x   s e n y   ĵ

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos define um campo vetorial que, para cada ponto (x,y) do plano cartesiano nos retorna um vetor de duas componentes dada pela função F. Agora, a gente tem que determinar se o campo vetorial F é conservativo. Mas quando um campo vetorial é conservativo? Quando a integral de linha dele entre dois pontos não depende do caminho! Ou seja, entre dois pontos A e B, não importa por onde integramos F, sua integral só depende do ponto inicial e final.

Isso ocorre quando o campo vetorial pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial

F = ∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Então, tudo que precisamos fazer é verificar se as componentes de F correspondem às derivadas parciais de algum campo escalar f. Para isso, vamos precisar integrar as componentes de F. Então, bora lá!

Passo 2

Como a componente x da função F é dada por 2 x   −   3 y , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por

∫ e x   c o s   y   d x = e x   c o s   y   + C ( y )

Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos

∫ e x   s e n y d y = - e x c o s   y + C ( x )

Das expressões para as integrais de F x   e F x   vemos que não é possível igualar os resultados adicionando uma função apenas de x, C(x), ou uma função apenas de y, C(y), porque e x   c o s   y ≠ - e x c o s   y . Portanto, não podemos escrever o campo vetorial F(x,y) como o gradiente de uma função escalar f. Logo, F(x,y) não é conservativo.

Resposta

F não é conservativo.

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