Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F   =   ∇ f   :

c) F   ( x ,   y )   = ( l n   y   +   2 x y ³ )   î   + 3 x ²   y ² + x y   ĵ

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos define um campo vetorial que, para cada ponto (x,y) do plano cartesiano nos retorna um vetor de duas componentes dada pela função F. Agora, a gente tem que determinar se o campo vetorial F é conservativo. Mas quando um campo vetorial é conservativo? Quando a integral de linha dele entre dois pontos não depende do caminho! Ou seja, entre dois pontos A e B, não importa por onde integramos F, sua integral só depende do ponto inicial e final.

Isso ocorre quando o campo vetorial pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial

F = ∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Então, tudo que precisamos fazer é verificar se as componentes de F correspondem às derivadas parciais de algum campo escalar f. Para isso, vamos precisar integrar as componentes de F. Então, bora lá!

Passo 2

Como a componente x da função F é dada por l n   y   +   2 x y ³ , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por

∫ l n   y   +   2 x y ³ d x = x l n   y + x ² y ³ + C ( y )

Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos

∫ 3 x ²   y ² + x y d y = x ² y ³ + x l n ( y ) + C ( x )

Das expressões para as integrais de F x   e F y   vemos que as funções são iguais, sem a necessidade da adição de uma função apenas de x, C(x), ou de uma função apenas de y, C(y). Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais f tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:

f ( x , y ) = x l n   y + x ² y ³ +   c t e

Se derivarmos f em relação à x, obtemos a componente F x   , e se derivarmos f em relação à y, obtemos a componente F y   , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial f e, portanto, é conservativo.

Resposta

F é conservativo.

f ( x , y ) = x l n   y + x ² y ³ +   c t e

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