Determine o trabalho realizado pelo campo de força F   ( x ,   y ) = 2 y 3 2   î + 3 x y   ĵ ao mover um objeto de P = (1, 1) para Q = (2, 4).

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente determinar o trabalho realizado pela força F dada. A gente sabe que o trabalho realizado por uma força nada mais é do que o produto escalar da força pelo deslocamento, ou seja, no caso de uma curva não retilínea, temos que fazer a integral de linha da força pelo vetor deslocamento infinitesimal, do ponto inicial até o ponto final

∫ P Q F ⋅ d r

Mas, antes, vamos verificar uma coisa: será que essa integral depende do caminho que escolhemos para ir de P até Q? Bem, a gente sabe que se F for um campo vetorial conservativo, ou seja, se ele puder ser escrito como o gradiente de alguma função escalar

F ( x , y ) = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Então, a sua integral de linha não depende do caminho escolhido, apenas dos pontos inicial e final! Então vamos lá verificar se F é conservativo!

Passo 2

Como a componente x da função F é dada por 2 y 3 2 , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por

∫ 2 y 3 2 d x = 2 y 3 2 x + C ( y )

Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos

∫ 3 x y d y = 2 3 3 x y 3 2 + C ( x ) = 2 x y 3 2 + C ( x )

Das expressões para as integrais de F x   e F y   vemos que as funções são iguais, sem a necessidade da adição de uma função apenas de x, C(x), ou de uma função apenas de y, C(y). Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais f tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:

f ( x , y ) = 2 x y 3 2 +   c t e

Se derivarmos f em relação à x, obtemos a componente F x   , e se derivarmos f em relação à y, obtemos a componente F y   , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial f e, portanto, é conservativo. Assim, podemos escolher o caminho que quisermos para calcular a integral de linha entre os pontos P e Q. Então, bora lá calcular a integral!

Passo 3

Como a integral não depende do caminho, vamos definir uma curva r(t) parametrizada por um parâmetro t, tal que

r ( t ) = ( t , t ² ) ,   1 ≤ t ≤ 2

Onde a curva começa no ponto (1,1) e termina no ponto (2,4).

Então, sobre essa curva, o campo vetorial F assume a forma

F ( x ( t ) , y ( t ) ) = 2 t ³ , 3 t t ² = 2 t ³ , 3 t ²

Agora, precisamos calcular um vetor tangente à curva v = d r d t , tal que possamos escrever os deslocamentos dx e dx em função de dt. Calculando um vetor tangente à curva r(t), obtemos

v = d r d t = d d t t , t ² = ( 1,2 t )

Então, podemos escrever dx e dy como

d x = d x d t d t = 1 ⋅ d t

d y = d y d t d t = 2 t ⋅ d t

Então, para calcular a integral de linha de F ao longo da curva r(t), fazemos o produto escalar de F com d l = v ⋅ d t . Assim, obtemos

∫ 1 2 2 t ³ ⋅ 1 ⋅ d t + ∫ 1 2 3 t ² ⋅ 2 t ⋅ d t = ∫ 1 2 2 t ³ d t + ∫ 1 2 6 t ³ d t = t ⁴ 2 + 3 t ⁴ 2 = 2 t ⁴ = 2 ( 2 ) ⁴ - 2 ( 1 ) ⁴ = 30

Resposta

∫ C F ( x , y ) ⋅ d r = 30

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