(1) Prove, usando a definição de derivada, que se f x = x então f ' a = 1 2 a para a > 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada a função f x = x e nosso objetivo a partir dela é obter a sua derivada pela definição e mostrar que f ' a = 1 2 a para a > 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 😬

A definição de derivada é dada a partir da equação

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Assim, substituindo f x + h e f x no limite, vamos obter a derivada de f .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para f x + h temos que trocar x por x + h em f x ...

f x = x → f x + h = x + h

Substituindo em f ' x , temos

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - x h

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - x h · x + h + x x + h + x

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - x h x + h + x

f ' x = lim h → 0 ⁡ h h x + h + x

Simplificando h ...

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h + x

E finalmente aplicando o limite...

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h + x = 1 x + 0 + x

f ' x = 1 2 x

Fazendo x = a , temos

f ' a = 1 2 a

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' a = 1 2 a

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