Exercícios Resolvidos de Função Potencial

Questão 1: Seja C a curva regular dada pela interseção das superfícies

z = 1 - y 2 ,       z ≥ 0 ,

x + z = 1

  1. Faça um esboço das superfícies e da curva C .
  2. Descreva uma parametrização regular de C .
  3. Calcule a integral de linha
  4. ∫ C   y e x + z d s .

  5. Calcule a integral de linha

∫ C   ∇ g d r ,

Onde g x ,   y ,   z = x e z + y e C está orientada saindo do ponto 1 ,   - 1 ,   0 .

Passo 1

Item a)

Para desenhar essa curva C no espaço, devemos desenharas superfícies do problema. A curva vai estar na intersecção delas !

Vamos começar com a primeira superfície da noite:

z = 1 - y 2 ,       z ≥ 0

Ora, z = 1 - y 2 é uma parábola no plano z y :

Como essa equação independe de x , então significa que devemos “puxar” a parábola ao longo do eixo x :

Para desenhar essa última superfície, x + z = 1 , podemos fazer algo semelhante:

Veja a nossa curva C ali no meio das superfícies!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Item b)

Uma boa parametrização para essa curva é utilizando a parametrização explícita, onde podemos considerar o y como o parâmetro t . Assim ganhamos o z em função desse parâmetro:

z = 1 - y 2 = 1 - t 2

E também o x :

x + z = 1     →         x = 1 - 1 - t 2     →

x = t 2

Logo, uma boa parametrização é:

α t = t 2 ,   t ,   1 - t 2

Para descobrir os limites de t , devemos recordar a seguinte restrição:

z = 1 - y 2 ,       z ≥ 0         o u

z = 1 - t 2 ,       z ≥ 0

Logo:

1 - t 2 ≥ 0       →

t 2 ≤ 1       →

- 1 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Vamos verificar se essa parametrização é regular ou não. Para isso, temos que verificar se α ' t ≠ 0 nesse intervalo:

α ' t = 2 t ,   1 ,   - 2 t

Veja que por causa dessa coordenada 1 , esse α nunca se anula, então sim! É regular:

α ' t ≠ 0

Passo 4

Item c)

Beleza, então vamos calcular essa integral de linha:

∫ C   y e x + z d s

Para isso devemos seguir o passo a passo a seguir:

  1. Parametrizar a curva:
  2. α t = t 2 ,   t ,   1 - t 2 ,       c o m       - 1 ≤ t ≤ 1

  3. Calcular o termo d s :
  4. d s = α ' t d t     →

    d s = 2 t 2 + 1 2 + - 2 t 2     d t       →

    d s = 8 t 2 + 1     d t

  5. Substituir os termos da parametrização:

f x ,   y ,   z = y e x + z       →

f α t = t e t 2 + 1 - t 2       →

f α t = t e 1

∫ C   y e x + z d s = ∫ - 1 1 e ⋅ t 8 t 2 + 1     d t =

e ∫ - 1 1 t 8 t 2 + 1     d t

Calculando por uma mudança de variável:

x = 8 t 2 + 1       →

d x = 16 t   d t       o u         t   d t = d x 16

Trocando também os limites:

t = - 1         →             x = 9

t = 1         →             x = 9

e ∫ - 1 1 t 8 t 2 + 1     d t = e ∫ 1 1 x   d x 16 = 0

Passo 5

Item d)

Por propriedade de campos G conservativos tal que possui uma função potencial g :

G = ∇ g

∫ C   ∇ g d r = g B - g A

Onde B é o ponto final da curva, enquanto que A é o ponto inicial. Como na nossa curva C os pontos extremos são:

α t = t 2 ,   t ,   1 - t 2 ,       t ∈ - 1 ,   1     →

α 1 = 1 2 ,   1 ,   1 - 1 2 = 1 ,   1 ,   0

E

α - 1 = - 1 2 ,   - 1 ,   1 - - 1 2 = 1 ,   - 1 ,   0

De acordo com o enunciado, temos uma orientação tal que a curva sai de 1 ,   - 1 ,   0 , logo ele é o ponto inicial:

A = 1 ,   - 1 ,   0

B = 1 ,   1 ,   0

Então:

∫ C   ∇ g d r = g 1 ,   1 ,   0 - g 1 ,   - 1 ,   0

Como g x ,   y ,   z = x e z + y ...

∫ C   ∇ g d r = e 0 + 1 - e 0 - 1 =

e - e - 1

Resposta

Letra a)

Letra b)

α t = t 2 ,   t ,   1 - t 2       c o m       t ∈ - 1 ,   1

Letra c)

∫ C   y e x + z d s = 0

Letra d)

∫ C   ∇ g d r = e - e - 1

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