Seja F : R 2 → R 2 o campo vertorial F x , y = e x e y + 1 + x ,   e y e x + 1 + y

a) Sem calcular potenciais, determine se o campo F é conservativo

b) Caso F seja conservativo, determine seus potenciais

c) Calcule ∫ C F d r   onde C é o arco da curva y = x 2 - 1 de - 1,0 até 1,0 .

Passo 1

Letra a)

Para um campo ser conservativo ele precisa:

1) Estar bem definido no seu domínio, ou seja, não ter indeterminações tipo divisão por zero, raiz de número negativo, etc.

2) Ser irrotacional

Passo 2

Olhando para o nosso campo, podemos ver que que ele não possui indeterminações então nossa primeira condição está satisfeita

Falta agora ver se ele é irrotacional. Vamos calcular seu rotacional e se der igual a 0, ele é irrotacional

O rotacional no R 2 é definido como:

r o t F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Temos que para o nosso exercício:

F 1 = e x e y + 1 + x

F 2 = e y e x + 1 + y

Então nossas parciais serão:

∂ F 2 ∂ x = e y e x

∂ F 1 ∂ y = e x e y

Substituindo no rotacional

r o t F → = e y e x - e x e y = 0 →

Como as nossas duas condições foram satisfeitas, temos que o nosso campo é conservativo

Passo 3

Letra b)

Para encontramos um potencial associado a um campo conservativo fazemos:

F → = ∇ f

Onde (nabla) é o operador diferencial:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Temos então o seguinte:

e x e y + 1 + x ,   e y e x + 1 + y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Vamos igualar agora cada termo:

∂ f ∂ x = e x e y + 1 + x

∂ f ∂ y = e y e x + 1 + y

Para o primeiro termo vamos integrar somente com relação a x e considerar a outra variável como constante:

f = ∫ e x e y d x + ∫ e x d x + ∫ e x x d x + A y

OBS.: Esse A ( y ) aparece porque quando temos a derivada parcial, consideramos tudo que estiver em função de y seja constante.

Resolvendo uma a uma:

∫ e x e y d x = e x e y

∫ e x d x = e x

Para a última integral devemos resolve-la por partes:

∫ e x x d x

u = x d v = e x d u = d x v = e x

∫ e x x d x = x e x - ∫ e x d x

∫ e x x d x = x e x - e x

Ficamos então com:

f = e x e y + e x +   x e x - e x + A y = e x e y +   x e x + A y

O segundo termo é análogo ao primeiro mudando somente que agora onde tinha x teremos y e vice e versa

f = e y e x +   y e y + B x

Comparando as duas f   que achamos perceba que A y = y e y   e B x = x e x   que é exatamente o que falta em cada para resultar   em:

f = e x e y +   x e x +   y e y

Para finalizar só falta adicionarmos a nossa potencial uma constante pois temos uma família de potenciais

f = e x e y +   x e x +   y e y + C

Passo 4

Letra c)

Como temos um campo conservativo, vale que a integral de linha desse campo é igual ao potencial no ponto final menos o potencial no ponto inicial. Olha que legal, podemos ignorar a curva C .

Vamos ter então:

∫ C F d r = f 1,0 - f ( - 1,0 )

f 1,0 = e 1 e 0 +   1 e 1 +   0 e 0 + C = 2 e + C

f - 1,0 = e - 1 e 0 +   - 1 e - 1 +   0 e 0 + C = C

∫ C F d r = 2 e

Resposta

a) O campo é conservativo

b) f = e x e y +   x e x +   y e y + C

c) 2 e

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