Seja a curva parametrizada espacial α t = 2 cos ⁡ t ,   s e n t ,   2 - cos ⁡ t ,   t ∈ 0 ,   2 π .

a) Calcule duas equações implícitas para a imagem de α

b) Esboce a imagem de α

c) Calcule ∫ α 6 x y   d s

d) Prove que ∫ α G   d r = 0 , onde G   é o campo espacial

G x , y , z = x e z 2 + x 2 ,   1 ,   z e z 2 + x 2 ,   x , y , z ∈ R 3 .

D i c a : O b s e r v e   q u e   a   i m a g e m   d e   α   é   u m a   c u r v a   r e g u l a r   f e c h a d a   e   j u s t i f i q u e   q u e   G   p e r t e n c e   à   u m a

f a m í l i a   d e   c a m p o s   p a r a   o s   q u a i s   i n t e g r a i s   d e   l i n h a   s o b r e   c u r v a s   f e c h a d a s   z e r a m .

Passo 1

Letra a)

Sendo x = 2 cos ⁡ t e y = s e n ( t ) podemos fazer:

x 2 = cos ⁡ t

Da relação trigonométrica fundamental temos que s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , então

x 2 2 + y 2 = 1

Sabemos da parametrização que z = 2 - cos ⁡ t então temos que:

z = 2 - x 2

Apresentando ela como função implícita temos:

z + x 2 = 2

As duas equações implicitas são:

x 2 2 + y 2 = 1

z + x 2 = 2

Passo 2

Lebra b)

Da equação x 2 2 + y 2 = 1 teriamos uma elipse se estivéssimos no R 2 . É fácil ver que é uma elipse pois ela é parecida com a equação da circunferência so que os coeficientes de x e y não são iguais. Nesse caso temos o eixo maior com tamanho 2 e o menor com tamanho 1.

Mas como estamos no R 3 , o que acontece é que como na nossa equação o z não aparece, significa que a equação é válida pra qualquer valor de z . Assim o que acontece são infinitas elipses ao longo de z formando um cilindro

Passo 3

Para a equação   z + x 2 = 2 temos um plano.

Imagem

Nossa curvá será então a intersecção da elipse com o plano. Portanto o esboço será algo assim:

Passo 4

Letra c)

A integral que a questão está pedindo é uma integral de linha de uma função escalar ao longo da curva α .

Podemos calcular ela dessa forma aqui:

∫ α f ( x , y )   d s = ∫ a b f α t . α ' t d t

Onde

α t = 2 cos ⁡ t ,   s e n t ,   2 - cos ⁡ t ,   t ∈ 0 ,   2 π

E

α ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

Que é o módulo da derivada da parametrização da curva.

Resolvendo para o α da questão:

α ' t = d ( 2 cos ⁡ t ) d t 2 + d ( s e n t ) d t 2 + d (   2 - cos ⁡ t ) d t 2

α ' t = - 2 s e n t 2 + cos ⁡ t 2 + s e n ( t ) 2

α ' t = 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + s e n 2 ( t )

Usando que cos 2 ⁡ ( t ) + s e n 2 t = 1

α ' t = 4 s e n 2 t + 1

Substituindo na integral de linha e considerando que f x , y = 6 x y

∫ α f ( x , y )   d s = ∫ 0 2 π 6 2 cos ⁡ t   s e n t 4 s e n 2 t + 1 d t

Para resolver essa integral vamos fazer uma mudança de variável simples:

u = 4 s e n 2 t + 1 d u = 8 s e n t cos ⁡ t d t t = 0 → u = 1 t = 2 π → u = 1

∫ α f ( x , y )   d s = ∫ 1 1 12 8 u d t

Perceba que nossos limites de integração são iguais, então nem precisamos resolver essa integral, o resultado é zero

Passo 5

Passo 6

Letra d)

Vamos usar a dica que o problema nos deu. Qual o nome do campo que quando fazemos sua integral de linha, o valor independe da curva? É o nosso famoso campo conservativo!!!! Sabemos também que o valor dele é o valor do potencial associado a esse campo aplicado no ponto final menos o potencial aplicado no ponto inicial.

∫ C F d r = f B - f ( A )

Se temos uma curva fechada, A = B então f B = f A . Dessa forma a integral de linha da 0 .

Passo 7

Vamos começar vendo se a nossa curva é realmente fechada.

Substituindo os extremos valores que t assume na curva α ( t )

Para t = 0 :

α 0 = 2 cos ⁡ 0 ,   s e n 0 ,   2 - cos ⁡ 0 = ( 2,0 , 1 )

Para t = 2 π :

α 2 π = 2 cos ⁡ 2 π ,   s e n 2 π ,   2 - cos ⁡ 2 π = ( 2,0 , 1 )

Assim podemos ver que a curva α ( t ) é fechada.

Passo 8

Falta agora vermos se o campo G é conservativo que assim vamos ter que a integral de linha desse campo na curva α é 0 já que essa curva é fechada.

Para um campo ser conservativo ele precisa:

1) Estar bem definido no seu domínio, ou seja, não ter indeterminações tipo divisão por zero, raiz de número negativo, etc.

2) Ser irrotacional

Passo 9

Olhando para o nosso campo, podemos ver que que ele não possui indeterminações então nossa primeira condição está satisfeita

Falta agora ver se ele é irrotacional. Vamos calcular seu rotacional e se der igual a 0, ele é irrotacional

O rotacional de um campo G x , y , z = G 1 , G 2 , G 3 é o produto vetorial do operador (nabla)

r o t ( G ) = ∇ × G = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z G 1 G 2 G 3 = ∂ G 3 ∂ y - ∂ G 2 ∂ z , ∂ G 1 ∂ z - ∂ G 3 ∂ x , ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y

Vamos agora calcular então o rotacional de G x , y , z = x e z 2 + x 2 ,   1 ,   z e z 2 + x 2

r o t G = ∂ ( z e z 2 + x 2 ) ∂ y - ∂ ( 1 ) ∂ z , ∂ x e z 2 + x 2   ∂ z - ∂ ( z e z 2 + x 2 ) ∂ x , ∂ ( 1 ) ∂ x - ∂ x e z 2 + x 2 ∂ y

r o t G = ( 0 - 0 , 2 x z e z 2 + x 2 - 2 z x e z 2 + x 2 , 0 - 0 = 0,0 , 0

Ufa! Nosso rotacional deu zero.

Então com a afirmação de que o rotacional de G é zero e que a curva é fechada, temos que:

∫ α G   d r = 0

Passo 10

Resposta

Letra a)

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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2