Seja f ( x ,   y ) uma função contínua sobre um arco regular γ de comprimento L . Se f ( x ,   y ) ≤ M , em todos os pontos ( x ,   y ) do arco γ , mostre que:

∫ γ f ( x ,   y ) d s ≤ M L .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma função f ( x ,   y ) , definida sobre um arco regular γ que tem comprimento L . E pediu pra gente mostrar que se f ( x ,   y ) ≤ M , então ∫ γ f ( x ,   y ) d s ≤ M L .

Pra isso, vamos usar a definição de integral de linha. Essa definição nos diz que se f é definida sobre uma curva suave γ , dada por equações paramétricas x t ,   y t ,   a ≤ t ≤ b , então a integral de linha de f sobre γ é o limite da soma dessa função em um ponto multiplicada por um comprimento de arco infinitesimal. Ou seja:

∫ γ f x ,   y d s = lim n → ∞ ⁡ ∑ i - 1 n f x i * ,   y i * Δ s i

Onde Δ s i é o comprimento de arco infinitesimal. Isso é interessante pra gente porque nós vamos precisar relacionar o comprimento da curva L com a integral de linha que a questão nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

A integral de linha também pode ser definida na forma:

∫ γ f x ,   y d s = ∫ a b f x t ,   y t d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Mas, nós sabemos que o comprimento de uma curva γ é definido por:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Então, é como se a gente multiplicasse a nossa função pelo seu comprimento de arco na integral. Sendo assim, usando a nossa condição:

f ( x ,   y ) ≤ M

Se calcularmos a integral de linha da função f ( x ,   y ) sobre a curva γ , vamos ter:

∫ γ f ( x ,   y ) d s ≤ M L

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ γ f ( x ,   y ) d s ≤ M L

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