Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2017.1, Questão 2

Seja f x , y ,   z = sin x 3 + k y + k y 2 z , ode k é uma constante positiva.

  1. Construa um campo vetorial F ( x ,   y ,   z ) tal que f ( x ,   y ,   z ) seja sua função potencial.
  2. Descreva o domínio de f onde ela é de classe C 1 .
  3. Calcule a integral de linha C F + G d r onde G x ,   y   ,   z = 3 x 2 , π k ,   2 z e C é a curva parametrizada por

σ θ = - 1 + cos θ , k 4 π 1 + θ 2 π , sin θ

Com 0 θ 2 π .

Passo 1

Item 1) então, a gente sabe que uma função potencial de um determinado campo é dado por F = f .

Logo, como nos foi dado a função potencial, basta buscarmos seu gradiente. :)

f x ,   y , z = f x , f y , f z

f x ,   y , z = cos x 3 + k y 3 x 2 , cos x 3 + k y - k y 2 + 2 k y z ,   k y 2

Logo,

F = 3 x 2 cos x 3 + k y , - k y 2 cos x 3 + k y + 2 k y z ,   k y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Item 2) Ser de classe C 1 significa que as derivadas parciais existirem e ser continuas. A gente pode observar no gradiente calculado acima, que é formado pelas derivadas parciais de f , que isso só não acontece quando y é igual a 0

Então, o maior domínio possível que isso funciona é todo o espaço R 3 tirando o plano x z :)

Passo 3

Item 3) bem, se a gente for calcular esse integral de linha direto, vai dar um pouquinho de trabalho. Então, qual é o truque?

O truque é justamente é justamente utilizar a função potencial, pois ela tem o poder de simplificar as integrais de linha, se lembra?!

C F + G d r = f + g A B

Onde a f é a função potencial F , g é a de G , e os pontos B e A são os pontos que delimitam a curva.

O grande problema é que não temos a função potencial para G , então me acompanha na busca por ele?

Passo 4

Novamente, sabemos que G = g , logo

3 x 2 , π k ,   2 z = g x , g y , g z

Igualando o primeiro membro e integrando com respeito a x a gente vai ganhar a função g em função de x e uma constante k em função de y e x (é só lembrar que se você derivar em relação a x , essa função some)

g x = 3 x 2      

Resolver isso é como “jogar” esse x para o outro lado e integrar dos dois lados

    g = 3 x 2 d x = x 3 + A ( y , z )

Fazendo a mesma coisa para o segundo termo:

g y = π k

g = π k d y = π y k + B x , z

Por último, integramos o terceiro termo:

g z = 2 z

g = 2 z d z = z 2 + C x , y

Então ficamos com:

g x ,   y ,   z = x 3 + A ( y , z )

g x ,   y ,   z = π y k + B x , z

g x ,   y ,   z = z 2 + C x , y

Comparando essas funções vamos ter:

g x , y , z = x 3 + π y k + z 2 + t

Prontinho! Função potencial encontrada :)

AHHH! E lembre-se que essa constante t que a gente somou na prática não vai nos interessar, okay?

Passo 5

Agora vamos procurar aqueles pontos A e B , beleza?

A e B são pontos extremos da curva, logo, se a gente substituir os limites de θ na parametrização, obteremos

θ = 0     σ θ = - 1 + cos θ , k 4 π 1 + θ 2 π , sin θ

A = - 1 + cos 0 , k 4 π 1 + 0 2 π , sin 0

A = 0 , k 4 π ,   0

Substituindo o outo extremo, vamos obter

B = 0 , k 2 π ,   0

Passo 6

Agora substituindo tudo na integral que devemos resolver no passo 3, vamos ter

C F + G d r = f + g A B

C F + G d r = sin x 3 + k y + k y 2 z + x 3 + π k y + z 2 A B

Substituindo o ponto B e subtraindo da substituição no ponto A

sin 0 3 + k 2 π k + 0 + 0 + π k k 2 π   + 0 - sin 0 3 + k 4 π k + 0 + 0 + π k k 4 π   + 0

Resolvendo esses senos e tirando esses zeros da jogada, vamos ficar apenas com

C F + G d r = 1 2 - 1 4 = 1 4

Resposta

Item 1:

F = 3 x 2 cos x 3 + k y , - k y 2 cos x 3 + k y + 2 k y z ,   k y 2

Item 2: Domínio:

R 3 - ( x , 0 , z )

Item 3:

C F + G d r = 1 4

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