Seja f x , y ,   z = sin ⁡ x 3 + k y + k y 2 z , ode k é uma constante positiva.

  1. Construa um campo vetorial F → ( x ,   y ,   z ) tal que f ( x ,   y ,   z ) seja sua função potencial.
  2. Descreva o domínio de f onde ela é de classe C 1 .
  3. Calcule a integral de linha ∫ C F → + G → d r → onde G → x ,   y   ,   z = 3 x 2 , π k ,   2 z e C é a curva parametrizada por

σ → θ = - 1 + cos ⁡ θ , k 4 π 1 + θ 2 π , sin ⁡ θ

Com 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 1

Item 1) então, a gente sabe que uma função potencial de um determinado campo é dado por F → = ∇ f .

Logo, como nos foi dado a função potencial, basta buscarmos seu gradiente. :)

∇ f x ,   y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x ,   y , z = cos ⁡ x 3 + k y ∙ 3 x 2 , cos ⁡ x 3 + k y ∙ - k y 2 + 2 k y z ,   k y 2

Logo,

F → = 3 x 2 cos ⁡ x 3 + k y , - k y 2 cos ⁡ x 3 + k y + 2 k y z ,   k y 2

Passo 2

Item 2) Ser de classe C 1 significa que as derivadas parciais existirem e ser continuas. A gente pode observar no gradiente calculado acima, que é formado pelas derivadas parciais de f , que isso só não acontece quando y é igual a 0

Então, o maior domínio possível que isso funciona é todo o espaço R 3 tirando o plano x z :)

Passo 3

Item 3) bem, se a gente for calcular esse integral de linha direto, vai dar um pouquinho de trabalho. Então, qual é o truque?

O truque é justamente é justamente utilizar a função potencial, pois ela tem o poder de simplificar as integrais de linha, se lembra?!

∫ C F → + G → d r → = f + g A B

Onde a f é a função potencial F → , g é a de G → , e os pontos B e A são os pontos que delimitam a curva.

O grande problema é que não temos a função potencial para G → , então me acompanha na busca por ele?

Passo 4

Novamente, sabemos que G → = ∇ g , logo

3 x 2 , π k ,   2 z = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

Igualando o primeiro membro e integrando com respeito a x a gente vai ganhar a função g em função de x e uma constante k em função de y e x (é só lembrar que se você derivar em relação a x , essa função some)

∂ g ∂ x = 3 x 2     ⇒  

Resolver isso é como “jogar” esse ∂ x para o outro lado e integrar dos dois lados

    g = ∫ 3 x 2 d x = x 3 + A ( y , z )

Fazendo a mesma coisa para o segundo termo:

∂ g ∂ y = π k

g = ∫ π k d y = π y k + B x , z

Por último, integramos o terceiro termo:

∂ g ∂ z = 2 z

g = ∫ 2 z d z = z 2 + C x , y

Então ficamos com:

g x ,   y ,   z = x 3 + A ( y , z )

g x ,   y ,   z = π y k + B x , z

g x ,   y ,   z = z 2 + C x , y

Comparando essas funções vamos ter:

g x , y , z = x 3 + π y k + z 2 + t

Prontinho! Função potencial encontrada :)

AHHH! E lembre-se que essa constante t que a gente somou na prática não vai nos interessar, okay?

Passo 5

Agora vamos procurar aqueles pontos A e B , beleza?

A e B são pontos extremos da curva, logo, se a gente substituir os limites de θ na parametrização, obteremos

θ = 0     ⇒ σ → θ = - 1 + cos ⁡ θ , k 4 π 1 + θ 2 π , sin ⁡ θ

A = - 1 + cos ⁡ 0 , k 4 π 1 + 0 2 π , sin ⁡ 0

A = 0 , k 4 π ,   0

Substituindo o outo extremo, vamos obter

B = 0 , k 2 π ,   0

Passo 6

Agora substituindo tudo na integral que devemos resolver no passo 3, vamos ter

∫ C F → + G → d r → = f + g A B

∫ C F → + G → d r → = sin ⁡ x 3 + k y + k y 2 z + x 3 + π k y + z 2 A B

Substituindo o ponto B e subtraindo da substituição no ponto A

sin ⁡ 0 3 + k 2 π k + 0 + 0 + π k k 2 π   + 0 - sin ⁡ 0 3 + k 4 π k + 0 + 0 + π k k 4 π   + 0

Resolvendo esses senos e tirando esses zeros da jogada, vamos ficar apenas com

∫ C F → + G → d r → = 1 2 - 1 4 = 1 4

Resposta

Item 1:

F → = 3 x 2 cos ⁡ x 3 + k y , - k y 2 cos ⁡ x 3 + k y + 2 k y z ,   k y 2

Item 2: Domínio:

R 3 - ( x , 0 , z )

Item 3:

∫ C F → + G → d r → = 1 4

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