Sejam f : R 2 → R e g : R → R funções de classe C 2 tal que f x , 0 = 0 para todo x ∈ R e g 0 = 0 . Seja F : R 2 → R 2 o campo vetorial dado por

F x , y = x f x , y i + y g x j

Suponha que F é um campo de forças conservativo. Mostre que o trabalho realizado por F ao longo de qualquer arco de circunferência do primeiro quadrante, percorrido no sentido anti-horário é nulo.

Passo 1

Primeiro vamos ver o que ele pede, ele quer que calcule o trabalho de F , lembra como calculamos o trabalho de uma força vetorial? É só fazer a integral de linha

W = ∫ C F x , y ∙ d C →

Beleza, mas temos um campo de forças conservativos, podemos achar essa integral de linha pela função potencial. Vamos achar a função potencial então, vamos chamar essa função dessa vez de φ isso porque já tem uma função f ali, ia confundir o meio campo se não trocássemos o nome da função potencial. Vamos começar com F 2 dessa vez porque aquela função f x , y não é conhecida.

∂ φ ∂ y = F 2

φ = ∫ F 2 d y = ∫ y g x d y = y 2 2 g x + h x

Vamos ter

∂ φ ∂ x = F 1

Dessa vez vamos derivar o que achamos aqui em cima em vez de integrar F 1

∂ φ ∂ x = y 2 2 g ' x + h ' x = x f x , y

Chegamos em uma equação meio louca

y 2 2 g ' x + h ' x = x f x , y

E agora o que fazer? Vamos usar o fato que esse cara é conservativo, ou seja

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Passo 2

Para achar

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Primeiro vamos achar as derivadas

∂ F 2 ∂ x = y g ' x

A outra derivada vai ficar

∂ F 1 ∂ y = x ∂ f ∂ y x , y

Dessa forma

y g ' x - x ∂ f ∂ y x , y = 0

y g ' x = x ∂ f ∂ y x , y

Podemos trocar isso na equação que achamos no passo 1

Passo 3

Vamos arrumar a Equação do passo 1 primeiro

y 2 2 g ' x + h ' x = x f x , y

y 2 y g ' x + h ' x = x f x , y

Trocando a equação que achamos no passo 2 na equação que achamos no passo 1 vamos ter

y 2 x ∂ f ∂ y x , y + h ' x = x f x , y

x y 2 ∂ f ∂ y x , y + h ' x = x f x , y

Assim

h ' x = x f x , y - x y 2 ∂ f ∂ y x , y

Ainda nada né? Continua uma zona só, mas repara que h ' só depende de x , então podemos colocar qualquer valor em y que isso ainda vai valer, como ele deu f x , 0 vamos fazer y = 0

h ' x = x f x , 0 - x . 0 2 ∂ f ∂ y x , y

h ' x = x . 0 - 0

h ' x = 0

Então

h x = K

que é uma constante, a função potencial vai ficar

φ = y 2 2 g x + K

Passo 4

Precisamos do ponto inicial e do final dessa curva, repara que ele vai no sentido anti-horário, então ele vai de R , 0 até 0 , R , e a integral de linha vai ser

W = ∫ C F x , y ∙ d C → = φ R , 0 - φ 0 , R

W = 0 2 2 g R + K - R 2 2 g 0 + K

Ele disse no enunciado que g 0 = 0

W = 0 + K - R 2 2 0 + K

W = K - 0 + K

W = K - K

W = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2