Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2014.1, Questão 4

Sejam f : R 2 R e g : R R funções de classe C 2 tal que f x , 0 = 0 para todo x R e g 0 = 0 . Seja F : R 2 R 2 o campo vetorial dado por

F x , y = x f x , y i + y g x j

Suponha que F é um campo de forças conservativo. Mostre que o trabalho realizado por F ao longo de qualquer arco de circunferência do primeiro quadrante, percorrido no sentido anti-horário é nulo.

Passo 1

Primeiro vamos ver o que ele pede, ele quer que calcule o trabalho de F , lembra como calculamos o trabalho de uma força vetorial? É só fazer a integral de linha

W = C F x , y d C

Beleza, mas temos um campo de forças conservativos, podemos achar essa integral de linha pela função potencial. Vamos achar a função potencial então, vamos chamar essa função dessa vez de φ isso porque já tem uma função f ali, ia confundir o meio campo se não trocássemos o nome da função potencial. Vamos começar com F 2 dessa vez porque aquela função f x , y não é conhecida.

φ y = F 2

φ = F 2 d y = y g x d y = y 2 2 g x + h x

Vamos ter

φ x = F 1

Dessa vez vamos derivar o que achamos aqui em cima em vez de integrar F 1

φ x = y 2 2 g ' x + h ' x = x f x , y

Chegamos em uma equação meio louca

y 2 2 g ' x + h ' x = x f x , y

E agora o que fazer? Vamos usar o fato que esse cara é conservativo, ou seja

F 2 x - F 1 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar

F 2 x - F 1 y

Primeiro vamos achar as derivadas

F 2 x = y g ' x

A outra derivada vai ficar

F 1 y = x f y x , y

Dessa forma

y g ' x - x f y x , y = 0

y g ' x = x f y x , y

Podemos trocar isso na equação que achamos no passo 1

Passo 3

Vamos arrumar a Equação do passo 1 primeiro

y 2 2 g ' x + h ' x = x f x , y

y 2 y g ' x + h ' x = x f x , y

Trocando a equação que achamos no passo 2 na equação que achamos no passo 1 vamos ter

y 2 x f y x , y + h ' x = x f x , y

x y 2 f y x , y + h ' x = x f x , y

Assim

h ' x = x f x , y - x y 2 f y x , y

Ainda nada né? Continua uma zona só, mas repara que h ' só depende de x , então podemos colocar qualquer valor em y que isso ainda vai valer, como ele deu f x , 0 vamos fazer y = 0

h ' x = x f x , 0 - x . 0 2 f y x , y

h ' x = x . 0 - 0

h ' x = 0

Então

h x = K

que é uma constante, a função potencial vai ficar

φ = y 2 2 g x + K

Passo 4

Precisamos do ponto inicial e do final dessa curva, repara que ele vai no sentido anti-horário, então ele vai de R , 0 até 0 , R , e a integral de linha vai ser

W = C F x , y d C = φ R , 0 - φ 0 , R

W = 0 2 2 g R + K - R 2 2 g 0 + K

Ele disse no enunciado que g 0 = 0

W = 0 + K - R 2 2 0 + K

W = K - 0 + K

W = K - K

W = 0

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