Exercícios Resolvidos de Interferência de Ondas Sonoras

I. Considere uma fonte sonora F e um detector D, posicionados conforme a figura. Admita que D receba o som de F pelos caminhos 1 (direito) e 2 (com reflexão). Considere que na reflexão há uma mudança de fase de π .

Sendo L= 8,00 m, 85 Hz a frequência das ondas e 340m/s a velocidade do som, obtenha o menor valor de d (diferente de zero) para que ocorra no detector:

a) interferência construtiva;

b) interferência destrutiva;

Passo 1

A diferença de fase entre as duas ondas vai surgir porque elas percorrem caminhos diferentes.

A diferença de fase ( Δ ϕ ) devido a uma diferença de caminho percorrido ( Δ L ) é:

Δ ϕ = 2 π Δ L λ

Onde a interferência é construtiva se Δ ϕ = 2 n π , n = 0,1 , 2 , … , e destrutiva para Δ ϕ = 2 n + 1 π , para n = 0,1 , 2 , … .

Precisamos do comprimento de onda ( λ ), que pode ser calculado pela expressão:

v = λ f

λ = v f = 340 85 = 4   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O caminho 1 possui um comprimento L 1 = L .

Para calcular o comprimento da caminho 2, precisamos usar Pitágoras entre L / 2 e d .

L 2 = 2   L 2 2 + d 2

A diferença de caminho percorrido é, então:

Δ L = L 2 - L 1 = 2   L 2 4 + d 2 - L

A diferença de fase entre as ondas vai ser gerada pela diferença de caminho percorrido, mais a diferença de fase ( π ) gerada pela reflexão no caminho 2. Então,

Δ ϕ = π + 2 π Δ L λ

Δ ϕ = π + 2 π λ 2 L 2 4 + d 2 - L

Passo 3

a) O menor valor para que a interferência seja construtiva ( n = 1 ) é Δ ϕ = 2 π . Pois Δ ϕ = 0 resultaria em d ≤ 0 .

Juntando as equações:

2 π = π + 2 π λ 2 L 2 4 + d 2 - L

2 L 2 4 + d 2 - L = λ 2

L 2 4 + d 2 = λ 4 + L 2

Elevando ao quadrado dos dois lados, pra se livrar dessa raíz:

L 2 4 + d 2 = λ 4 + L 2 2

L 2 4 + d 2 = λ 2 16 + λ L 4 + L 2 4

d 2 = λ 2 16 + λ L 4

Como λ = 4   m e L = 8   m , então

d = 4 2 16 + 32 4

d = 1 + 8 = 3   m

Passo 4

b) O menor valor para que a interferência seja destrutiva ( n = 1 ) é Δ ϕ = 3 π . Pois Δ ϕ = π resultaria em d ≤ 0 .

3 π = π + 2 π λ 2 L 2 4 + d 2 - L

2 L 2 4 + d 2 - L = λ

L 2 4 + d 2 = λ + L 2

Elevando ao quadrado dos dois lados:

L 2 4 + d 2 = λ 2 + 2 λ L + L 2 4

d = λ 2 + 2 λ L 2

d = 4 2 + 2 ∙ 4 ∙ 8 2 = 80 2 = 4,47   m

Resposta

a) 3m

b) 80 / 2 ≅ 4,47   m

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