Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

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Enunciado

Uma amostra de gás Hélio está incialmente à pressão p 1 = 16,0 x 10 5 P a , volume V 1 = 1,00 x 10 - 3 m 3 ( 1 litro) e temperatura T 1 = 600   K . O gás é expandido isotermicamente até seu volume atingir V 2 = 4 V 1 . Em seguida, é comprimido à pressão constante até determinado volume V 3 e retorna ao seu estado inicial após uma compressão adiabática.

  1. Faça um esquema desse ciclo em um diagrama p V (pressão x volume).
  2. Encontre o valor de γ = C p C V para o gás hélio e obtenha o valor de n R para essa amostra (coloque unidades).
  3. Calcule o volume ( V 3 ) e a temperatura T 3 após a compressão isobárica.
  4. Calcule o trabalho realizado no ciclo.
  5. Calcule o rendimento da máquina que trabalha segundo esse ciclo.

Dados:

R = 8,31   J / K . m o l

Passo 1

a):

Essa é fácil. Basta que a gente lembre mais ou menos o formato de cada curva. O gráfico fica assim:

Passo 2

b):

O valor de γ já é tabelado pra gases monoatômicos e vale:

γ = C p C V = 5 R 2 3 R 2 = 5 3

E pra calcular o valor de n R ,a gente pode usar a equação:

P V = n R T → n R = P V T

Podemos usar os valores do ponto 1:

n R = 16 x 10 5 . 1,00 x 10 - 3 600 = 2,67   J / K

Passo 3

c):

Pra gente descobrir o volume V 3 , é mais fácil usar o caminho da adiabática do que o da compressão isobárica.

Por que? Porque ai a gente usa a equação abaixo:

P 1 V 1 γ = P 3 V 3 γ   → V 3 = P 1 P 3 1 γ . V 1 = 16 4 3 5 . 1 x 10 - 3 ≅ 2,30 x 10 - 3 m 3

Show! Agora queremos saber a temperatura T 3 . Pra isso usaremos a equação geral dos gases:

P V = n R T   → T = P V n R = 4 x 10 5 . 2,30 x 10 - 3 2,67 ≅ 345   K

Passo 4

d):

Vamos calcular o trabalho de cada etapa e depois somar tudo:

W c i c l o = W 12 + W 23 + W 31

O caminho 1 → 2 é uma isoterma, então o trabalho é calculado por:

W 12 = ∫ P d V = ∫ n R T V d V = n R T ∫ d V V = n R T l n V f V i = n R T l n 4

W 12 = 2218 J

O caminho 2 → 3 é um caminho isobárico, então o cálculo do trabalho é bem simples:

W 23 = P ∆ V = P 2 V 3 - V 2 = 4 x 10 5 . 2,30 x 10 - 3 - 4 x 10 - 3 = - 680   J

E o caminho 3 → 1 é uma adiabática:

Pela primeira lei da termodinâmica, e por sabermos que numa transformação adiabática não há troca de calor, temos:

∆ U = Q - W

∆ U = - W   → W = - ∆ U 31

Show? Então, o trabalho é igual à variação da energia interna no processo.

Bom, essa variação pode ser calculada por:

∆ U = n c v ∆ T 31 = n c v T 3 - T 1

∆ U = n . 3 R 2 345 - 600

∆ U = 3 2 n R - 255

Agora é só jogar o valor de n R que a gente achou:

∆ U = - 3 2 . 255 . 2,67   ≅ - 1,021 x 10 3 J

Então:

W 31 = - 1021 J

Logo, o trabalho total é a soma de todos os trabalhos:

W c i c l o = W 12 + W 23 + W 31 = 2218 - 680 - 1021 = 518 J

Passo 5

e):O rendimento é calculado por:

ε = W c i c l o Q Q

Onde Q Q é o calor fornecido pela fonte quente.

Ai vem uma dica: Pra você saber em qual trecho o gás recebe esse calor, basta você lembrar que é onde ele se expande, onde o seu volume aumenta.

No caso, no trecho : 1 → 2 .

Só que como a temperatura não varia de 1 pra 2, a variação de energia interna é nula. Isso gera, pela primeira lei da termodinâmica:

∆ U = Q - W

∆ U = 0

Q 12 = W 12

A gente já calculou o trabalho nesse trecho e esse vale:

Q 12 = 2218 J

Então:

ε = 518 2218 ≅ 23,4 %

Resposta

a):

b):

γ = 5 3

n R = 2,67   J / K

c):

T 3 ≅ 345   K

d):

W c i c l o = 518 J

e):

ε ≅ 23,4 %

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