Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

UFRJ- Física 2 – P2 2019.2

Uma amostra com n moles de um gás ideal cujo calor específico molar a volume constante vale C V = 3 R / 2 realiza o ciclo ilustrado no diagrama V - T abaixo.

a) Faça um esboço do ciclo acima em um diagrama P - V   , indicando os estados 1 ,   2 ,   3   e   4 , bem como a pressão e o volume de cada estado em função de V 0 ,   T 0 ,   n   e R .

b) Determine o calor envolvido em cada etapa do ciclo.

c) Determine o trabalho total realizado no ciclo.

d) Este ciclo representa uma máquina térmica ou refrigerador?

Justifique a sua resposta.

Passo 1

a)

Vamos lá. Para fazer u diagrama P - V temos que saber as pressões correspondentes de cada ponto. Então vamos aproveitar que é um gás ideal e , portanto, podemos usar a relação:

P V T = c o s n t a n t e

Do ponto 1 para o ponto 2:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

P 1 2 V 0 T 0 = P 2 2 V 0 2 T 0

Então

P 2 = 2 P 1

Mas, podemos melhorar isso. Para o ponto 2, vamos escrever,:

P 2 V 2 = n R T 2

P 2 2 V 0 = n R 2 T 0

P 2 = n R T 0 V 0

Com isso, a pressão no ponto 1 fica:

P 2 = 2 P 1

P 1 = P 2 2

P 1 = n R T 0 V 0

Show!

Agora, a mesma coisa do ponto 2 para o ponto 3:

P 2 V 2 T 2 = P 3 V 3 T 3

P 3 = P 2 V 2 T 3 T 2 V 3

Substituindo:

P 3 = n R T 0 V 0 2 V 0 2 T 0 2 T 0 V 0

Arrumando:

P 3 = 2 n R T 0 V 0

Ou seja,

P 3 = 2 P 2

Do 3 para o 4:

P 3 V 3 T 3 = P 4 V 4 T 4

P 4 = P 3 V 3 T 4 T 3 V 4

Substituindo:

P 4 = 2 n R T 0 V 0 V 0 T 0 2 T 0 V 0

P 4 = n R T 0 V 0

Ou seja,

P 4 = P 2

Resumindo: do 1 para o 2 temos que a pressão aumenta, a volume constante. Do 2 para o 3 o volume diminui a temperatura constante, do 3 para o 4 a pressão diminui a volume constante. Do 4 para o 1 o volume aumenta a temperatura constante.

Então, chamando P 2 de P 0 , o diagrama P - V , fica:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Agora ele quer o calor para cada etapa. Vamos lá!

De 1 para 2: O volume é constante, então o trabalho é nulo. Pois

W = ∫ P d V

Pela primeira lei, sabemos que

Δ U = Q - W

Então nesse caso:

Δ U = Q

E como é um gás ideal a seguinte relação é válida:

Δ U = n C V Δ T

Então

Q = n C V Δ T

Substituindo:

Q = n 3 2 R ( T 2 - T 1 )

Q = n 3 2 R ( T 0 )

De 2 para 3: Nessa etapa a temperatura fica constante. Então

Δ U = n C V Δ T

Δ U = n C V ( 0 )

Δ U = 0

Logo, pela primeira lei:

Δ U = Q - W

Q = W

E o trabalho vale:

W = ∫ P d V

Usando a equação dos gases ideias temos

P V = n R T

P = n R T V

Substituindo:

W = ∫ P d V

W = ∫ n R T V d V

W = n R 2 T 0 ln ⁡ V 3 V 2

W = n R 2 T 0 ln ⁡ V 0 2 V 0

W = n R 2 T 0 ln ⁡ 2 - 1

Pelas propriedades do log:

W = - n R 2 T 0 ln ⁡ 2

Então

Q = W

Q = - n R 2 T 0 ln ⁡ 2

De 3 para 4, o volume permanece constante, então o trabalho é nulo. Logo:

Δ U = Q

E como

Δ U = n C V Δ T

Temos

Q = n C V Δ T

Substituindo:

Q = n 3 2 R T 4 - T 3

Q = n 3 2 R - T 0

Show!

De 4 para 1: Não há variação de temperatura, então Δ U = 0 .

Logo, pela primeira lei:

Q = W

E o trabalho vale:

W = ∫ P d V

W = ∫ n R T V d V

W = n R T 0 ln ⁡ V 1 V 4

W = n R T 0 ln ⁡ 2 V 0 V 0

W = n R T 0 ln ⁡ 2

Portanto

Q = W

Q = n R T 0 ln ⁡ 2

Maravilha!!

Passo 3

c)

Como já vimos na letra B, quando o volume permanece constante o trabalho é nulo, logo W 1 → 2   = 0 E W 3 → 4   = 0 .

Os trabalhos W 2 → 3   e W 4 → 1   já foram calculados no item b).

E valem:

W 2 → 3 = - n R 2 T 0 ln ⁡ 2

W 4 → 1   = n R T 0 ln ⁡ 2

Assim, o trabalho total

W T = W 1 → 2   + W 2 → 3   + W 3 → 4   + W 4 → 1  

W T = - n R 2 T 0 ln ⁡ 2 + n R T 0 ln ⁡ 2

W T = - n R T 0 ln ⁡ 2

Passo 4

d)

Como o trabalho total é negativo, temos que o ciclo representa um refrigerador. Pois ele precisa que uma energia seja fornecida a ele. O trabalho é realizado sobre o gás, ao contrário da máquina, que é o gás que produz trabalho.

Resposta

a)

b)

De 1 para 2: Q = n 3 2 R ( T 0 )

De 2 para 3:

Q = - n R 2 T 0 ln ⁡ 2

De 3 para 4:

Q = n 3 2 R - T 0

De 4 para 1:

Q = n R T 0 ln ⁡ 2

c)

W T = - n R T 0 ln ⁡ 2

d)

Como o trabalho total é negativo, temos que o ciclo representa um refrigerador. Pois ele precisa que uma energia seja fornecida a ele. O trabalho é realizado sobre o gás, ao contrário da máquina, que é o gás que produz trabalho.

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