Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

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Enunciado

A figura mostra um ciclo reversível percorrido por 1,00   m o l de um gás monoatômico ideal. O processo B C   é uma expansão adiabática, com p b = 10,0   atm e   V b = 1,00 ⋅ 10 - 3 m 3 . Para este ciclo, encontre:

a A energia adicionada ao gás na forma de calor.

b A energia liberada pelo gás na forma de calor.

c O trabalho líquido realizado pelo gás

d A eficiência do ciclo

Dados:

- gás monoatômico: C V = 3 R / 2 , C P =   5 R / 2 e   γ = 5 / 3 .

- pressão atmosférica   P a t m =   1,013 ⋅ 10 5   N/ m 2

Passo 1

Bom galera, vamos utilizar uma série de relações importantes envolvendo gases pra resolver essa questão. Então apertem os cintos, lá vamos nós:

a   Bem, queremos saber aqui qual a quantidade de calor que adicionada ao ciclo pra que esse realize trabalho. Poderíamos analisar transformação por transformação e achar a contribuição de cada uma para o calor fornecido. Mas, vamos pensar um pouco sobre esse ciclo:

No trecho B - C :

Não há troca de calor aqui, pois é uma transformação adiabática ( Q = 0 ) . O calor que foi fornecido ao ciclo não pode ter sido “injetado” aqui, né? (:

No trecho C - A :

Bem, aqui há troca de calor. Porém, como o trabalho é negativo (o gás está se contraindo, diminuindo o seu volume), é de se esperar que esse seja o ponto de rejeição de calor para a fonte fria!

No trecho A - B :

É aqui onde o calor tem que ser fornecido! Agora, precisamos calculá-lo:

Usando a primeira lei:

∆ U = Q - W

Perceba, pelo gráfico, que não há variação de volume nesse trecho! É uma transformação isovolumétrica, e isso quer dizer que W = 0 . Logo:

∆ U = Q

Ok! Então basta calcularmos a variação de energia interna pra acharmos o trabalho. Lembrando que:

∆ U = n c v ∆ T   → Q = n c v ∆ T  

Temos o valor de c v e n , mas precisamos descobrir o valor de ∆ T .Vamos usar a equação geral dos gases para isso:

P V = n R T → T = P V n R

Vamos achar primeiro a temperatura do ponto b , pois já temos o valor da pressão e volume desse ponto:

T b = P b V b n R

T b = 10 ⋅ 1,013 ⋅ 10 5 ⋅ 1,00 ⋅ 10 - 3 1 ⋅ R

T b = 1013 R

Agora vamos calcular T a . Pra isso, precisamos da pressão e do volume desse ponto, porém só temos o valor do volume. Mas perceba que a pressão daquele ponto é a mesma que a pressão do ponto c !

Vamos descobrir então a pressão do ponto c. Como há uma transformação adiabática entre b e c , podemos achar a pressão de c através da equação das transformações adiabáticas:

P b V b γ = P c V c γ

P c = P b ⋅ V b V c γ

P c = 10 ⋅ 1,013 ⋅ 10 5 ⋅ V b 8 V b 5 3

P c = 10 ⋅ 1,013 ⋅ 10 5 ⋅ 1 8 5 3

P c ≅ 31656

Como P c = P a :

T a = P a V a n R

T a = 31656 ⋅ 1,00 ⋅ 10 - 3 R

T a = 31,7 R

Então,   ∆ T vale:

∆ T = T b - T a

Δ T = 1013 - 31,7 R

Δ T = 981,3 R

Substituindo esse valor e os outros do enunciado na expressão que encontramos pro calor:

Q = n c v ∆ T  

Q = 1 ⋅ 3 2 R ⋅ 981,3 R

Q = 1471,9   J  

Q ≅ 1,47   kJ

Conseguimos! Galera, não se assustem, esse tipo de questão é como um quebra cabeça. Aos poucos vamos descobrindo as informações de cada ponto do ciclo, e elas podem ser usadas nas outras opções da questão.

Passo 2

b   Agora queremos saber qual foi o calor rejeitado. Lembra da nossa análise? Vimos que o processo em que ocorrerá a liberação de calor para a fonte fria é o processo C - A ! Vamos analisar esse processo com a primeira lei:

∆ U = Q - W

Q = ∆ U + W  

Podemos calcular W :

W C - A = P A V A - V C

W C - A = 31656 ⋅ 1 - 8 ⋅ 10 - 3

W C - A ≅ - 221,6   J

Agora precisamos descobrir o valor de ∆ U C - A . Bom, uma forma de se descobrir isso é se lembrando que a variação total da energia interna em um ciclo é 0. Isso também nos diz que a soma das variações de cada trecho tem que ser igual a 0:

∆ U ciclo = 0   ↔ ∆ U B - C + ∆ U C - A + ∆ U A - B = 0

  ∆ U A - B = - ( ∆ U B - C + ∆ U C - A )

No trecho A - B sabemos que Q = ∆ U :

∆ U = Q = 1,47   kJ = 1470   J

Podemos calcular a variação e energia interna no trecho B - C :

∆ U B - C = n c v T c - T b

T B Já foi calculado e vale:

T b = 1013 R

A gente pode calcular T c facilmente, pois já temos a pressão e o volume do ponto c:

T c = P c V c n R

T c = 31656 ⋅ 8 ⋅ 10 - 3 1 ⋅ R

T c = 253,3 R

Logo:

∆ U B - C = n c v T c - T b  

  ∆ U B - C = 3 2 R ⋅ 253,3 - 1013 R

∆ U B - C ≅ - 1139   J 

Agora vamos descobrir ∆ U A - B :

∆ U A - B = - 1470 - 1139

∆ U A - B = - 331   J

Agora, sabendo o valor do trabalho e da variação de energia interna:

Q = ∆ U + W

Q = - 331 - 221,6

Q = -   552,6   J

Q ≅ - 0,55   kJ

Passo 3

c   Essa é fácil! Depois de todo aquele trabalho, temos todas as informações pra resolver esse item! Vamos apenas usar a relação:

Q ciclo = W ciclo → W ciclo = Q Q - Q F

W ciclo = 1,47 k J - - 0,55   kJ

W ciclo ≅ 920   J

d   Outra que vamos resolver rapidamente já que já temos todas as informações necessárias. A eficiência de uma máquina térmica é:

ε = W ciclo Q Q

Como:

  • Q Q = 1,4   kJ = 1400   J
  • W ciclo = 920   J

Substituindo na expressão:

ε = W ciclo Q Q  

  ε = 920 1400

  ε ≅ 63 %

Resposta

a   1,47   kJ 

b   - 0,55   kJ

c   920   J 

d   63 %

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