Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

Ciclos Termodinâmicos e Máquinas Térmicas

Uma amostra de um gás ideal ( 0,800   m o l s ) passa pelo processo mostrado na figura abaixo.

De A a B , o processo é adiabático. De B a C é isobárico com 32,4   k J de energia entrando no sistema por calor. De C a D , o processo é isotérmico. De D a A , é isobárico com 35,0   k J de energia saindo do sistema por calor.

  1. Encontre as temperaturas dos estados A , B e do processo isotérmico.
  2. Responda, justificando, se o gás é mono-, di- ou poliatômico.
  3. Reproduza a tabela abaixo no caderno de respostas. Complete-a, justificando, com os valores de Q , W e ∆ E I n t para cada um dos processos e para o ciclo.
  4. Calcule a eficiência de uma máquina que funcione com esse ciclo.

R = 8,31 J / m o l

Passo 1

Vamos usar a equação geral dos gases pra calcular os valores das temperaturas:

P V = n R T

A:

T A = P A V A n R = 20 x 10 - 3 . 1 x 10 5 0,8.8,31 = 300.1 K

B:

T B = P B V B n R = 3,00 x 10 5 . 9,15 x 10 - 3 0,8.8,31 = 413 K

C:

Vamos usar a expressão:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Nos pontos B e C :

P B V B T B = P C V C T C   → 3,00 x 10 5 . 9,15 x 10 - 3 413 = 3,00 x 10 5 . 40,0 x 10 - 3 T c   → T c = 1805 K  

Como o processo é isotérmico, T D é igual à T c :

T D = T c = 1805 K

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Vamos usar a transformação adiabática pra resolver isso:

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

Porque a partir do valor de γ nós descobrimos de que tipo é o gás. Aplicando l o g dos dois lados:

l o g ⁡ ( P 1 V 1 γ ) = l o g ⁡ ( P 2 V 2 γ )   → log ⁡ P 1 + γ log ⁡ V 1 = log ⁡ P 2 + γ l o g ⁡ ( V 2 )

log ⁡ P 1 - log ⁡ P 2 = γ log ⁡ V 2 - log ⁡ V 1

log ⁡ P 1 P 2 = γ log ⁡ V 2 V 1 → γ = log ⁡ P 1 P 2 log ⁡ V 2 V 1

Sendo P 1 = P B e P 2 = P A :

γ = log ⁡ P 1 P 2 log ⁡ V 2 V 1 = log ⁡ 3 1 log ⁡ 20 9,15 = log ⁡ 3 l o g 2,18 = 1,40 = 7 5

Logo o gás é diatômico. Por que para um gás diatômico temos;

C v = 5 2 R   → C p = 5 2 R + R = 7 2 R → γ = 7 2 R 5 2 R = 7 5 = C p C v

Passo 3

c):

Vamos primeiro calcular cada quantidade termodinâmica separadamente e depois preencher a tabela.

Primeiro o calor:

No processo A → B :

Como é um processo adiabático, por definição:

Q A B = 0

B → C :

Nesse ponto vamos usar a equação do calor:

Q B C = n c p ∆ T

Sendo c p o calor específico molar à pressão constante. Bem, a gente sabe as temperaturas de todo mundo né?

Então vamos lá. Fazendo ∆ T = T c - T b :

Q B C = 0,8 . 7 2 8,31 . 1805 - 413 ≅ 32,4 k J

C → D :

Nesse caso, temos uma transformação isotérmica. Como é uma transformação desse tipo, ∆ U = 0 :

Pela primeira lei:

∆ U = Q - W = 0 → Q C D = W C D = ∫ P d V

Fazendo P = n R T V :

W C D = ∫ n R T V d V = n R T l n V D V C = 0,8 . 8,31 . 1805 ln ⁡ 120 40 ≅ 13,2 k J

Logo:

Q C D = W C D = 13,2 k J

D → A :

Vamos fazer como no processo B → C :

Q D A = n c p ∆ T = 0,8 . 7 2 . 8,31 . 300,8 - 1805 ≅ - 35 k J

E por fim, o calor do ciclo será a soma disso tudo:

Q c i c l o = 10,6 k j

Passo 4

Trabalho:

A → B :

Pela primeira lei, como Q A B = 0 :

∆ U = - W   → W = - ∆ U

Sendo ∆ U = n c v ∆ T = 0,8 . 5 2 . 8,31 . 412.8 - 300.8 = 1,9 k J

Logo:

W = - 1,9 k J

B → C :

Aqui é fácil. A pressão é constante, então o trabalho será:

W = P ∆ V = 3,00 x 10 5 40 - 9.15 x 10 - 3 = 9,3 k J

C → D :

Como vimos:

Q C D = W C D = 13,2 k J

D → A :

Esse valor de trabalho também é fácil de calcular por se tratar de uma transformação isobárica:

W D A = P ∆ V = 1 x 10 5 20 - 120 x 10 - 3 = - 10,00 k J

E o trabalho do ciclo vai ser a soma de todo mundo:

W c i c l o = 10,6 k J

Passo 5

Variação da energia interna:

A → B :

Por se tratar de uma transformação adiabática:

∆ U = - W = - - 1,9 k J = 1,9 k J

B → C :

Vamos aplicar aqui a primeira lei:

∆ U B C = Q B C - W B C = 32,4 - 9,3 = 23,1 k J

C → D :

Por ser uma transformação isotérmica:

∆ U = 0

Isso acontece pois a energia interna é uma função da temperatura, e vice-versa.

D → A :

Vamos aplicar aqui a primeira lei novamente:

∆ U D A = Q D A - W D A = - 35,00 - - 10,00 = - 25,00 k J

Então, a variação total de energia interna do ciclo será a soma de todas essas variações:

∆ U c i c l o = 0

Como era de se esperar (:.

Vamos montar nossa tabelinha então:

Passo 6

d):

A eficiência de uma máquina térmica é dada por:

e = W c i c l o Q q u e n t e

O calor quente é o calor que o gás recebe da fonte quente. Quando o gás recebe calor da fonte quente, ou ele se expande ou se aquece, ou acontecem as duas coisas.

Se analisarmos bem o gráfico, vamos perceber que isso ocorre nos processos B C e C D .

Então;

Q q u e n t e = Q B C + Q C D = 32,4 + 13,2 = 45,6 k J

E o trabalho do ciclo vale:

W c i c l o = 10,6 k J

Logo:

e = 10,6 45,6 ≅ 23,2 %

Resposta

a):

T A = 300.1 K

B:

T B = 413 K

C:

T C = T D = 1805 K

b):

o gás é diatômico

c):

d):

e ≅ 23,2 %

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