Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

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Enunciado

Uma máquina térmica funciona com um gás ideal diatômico segundo um ciclo de Diesel( diagrama pV mostrado na figura abaixo, onde as transformações A B   e   C D são adiabáticas). Considere que a pressão, o volume a temperatura do gás em A são p 0 ,   V 0 e   T 0 , respectivamente.

Considere V 1 = V 0 2 e V 2 = V 0 4 .

  1. Encontre as pressões p 1   e   p 2 , em função de p 0 .
  2. Determine as temperaturas T B ,   T C   e   T D do gás nos estados B ,   C   e   D , respectivamente em função de T 0 .
  3. Obtenha em função de p 0 V 0 , o calor trocado entre o gás e as vizinhanças nos processos B C   e   D A . Diga qual foi o sentido da troca de calor em cada processo.
  4. Calcule, em função de p 0 V 0 , o trabalho total realizado pelo ciclo.
  5. Obtenha o rendimento da máquina que opera segundo esse ciclo.

Passo 1

a)

Pra achar p 2 , basta a gente aplicar a fórmula:

p 0 V 0 γ = p 2 V 2 γ

Como o gás é diatômico:

γ = 7 5 = 1,4

E:

V 2 = V 0 4

Assim:

p 0 V 0 7 5 = p 2 . V 0 4 7 5 → p 2 = p 0 . V 0 V 0 4 7 5

p 2 = p 0 . 4 7 5 = p 0 . 4 1,4

A pressão no ponto C é a mesma que p 2 . A partir do ponto C , ocorre uma expansão adiabática até o ponto D , que possui a nossa querida pressão P 1 . O volume de C é o V 1 e o de D o V 0 :

p c V c γ = p D . V D γ

Assim:

p 0 . 4 1,4 . V 0 2 1,4 = p 1 . V 0 1,4

p 1 = p 0 4 1,4 . V 0 2 V 0 1,4 = p 0 . 4 1,4 . 1 2 1,4 = p 0 . 4 2 1,4 = p 0 . 2 1,4

Assim:

p 1 = p 0 . 2 1,4

p 2 = p 0 . 4 1,4

Passo 2

b)

Pra achar T B , vamos usar a equação dos gases:

P V = n R T → T B = P b V b n R = p 2 V 2 n R = p 0 . 4 1,4 . V 0 4 n R

T B = p 0 V 0 . 4 0,4 n R

Como:

T 0 = p 0 V 0 n R

Então:

T B = 4 0,4 . T 0

Podemos achar T c usando:

P B V B T B = P C V C T C

P B = P C

Assim:

V B T B = V C T C

V 0 4 4 0,4 . T 0 = V 0 2 T C

T C = V 0 2 V 0 4 . 4 0,4 . T 0 = 2.4 0,4 . T 0

Como:

2 = 4 1 2 = 4 0,5

Então:

T c = 4 0,5 . 4 0,4 T 0 = 4 0,9 T 0

Pra achar T D , vamos usar novamente a equação dos gases:

T D = P D V D n R = p 0 . 2 1,4 . V 0 n R = 2 1,4 . p 0 V 0 n R = 2 1,4 . T 0

Assim:

T B = 4 0,4 . T 0

T C = 4 0,9 T 0

T D = 2 1,4 . T 0

Passo 3

c)

O calor trocado em B C é dado à pressão constante, então usaremos c p na fórmula:

Q B C = n c p . T C - T B

c p = 7 2 R

Assim:

Q B C = n . 7 2 R . 4 0,9 T 0 - 4 0,4 . T 0

Q B C = n 7 2 R . T 0 . 1,74 > 0

Como o calor é positivo, o calor está sendo transferido do ambiente para o gás.

O calor trocado em D A é feito à volume constante. Assim:

Q D A = n c V . T A - T D

c V = 5 2 R

Q D A = n 5 2 R . T 0 - 2 1,4 . T 0 = n 5 2 R . T 0 . 1 - 2 1,4 = n 5 2 R T 0 . - 1,64 < 0

Como o calor é menor que zero, o calor tá sendo transferido do sistema para o ambiente. Assim, o sistema está perdendo calor.

Passo 4

d)

Como a variação de energia interna de um ciclo é nula:

∆ U c i c l o = Q c i c l o - W c i c l o

∆ U c i c l o = 0

W c i c l o = Q c i c l o

O calor do ciclo é a soma daqueles calores calculados antes:

Q c i c l o = n 7 2 R . T 0 . 1,74 + n 5 2 R T 0 . - 1,64

Q c i c l o = 6,1 n R T 0 - 4,1 n R T 0 = 2 n R T 0

Assim:

W c i c l o = 2 n R T 0

Como:

P 0 V 0 = n R T 0

Então:

W c i c l o = 2 P 0 V 0

Passo 5

e)

Pelo sentido desse ciclo, o ciclo representa uma máquina térmica. Assim o rendimento é dado por:

e = W Q a b s o r v i d o

O calor é absorvido onde o calor é positivo, assim, em B C :

Q B C = n 7 2 R . T 0 . 1,74 = 6,1 n R T 0

Assim:

e = 2 n R T 0 6,1 n R T 0 = 2 6,1 = 0,33 = 33 %

Resposta

a)

p 1 = p 0 . 2 1,4

p 2 = p 0 . 4 1,4

b)

T B = 4 0,4 . T 0

T C = 4 0,9 T 0

T D = 2 1,4 . T 0

c)

Q B C = n 7 2 R . T 0 . 1,74 > 0

O calor está sendo transferido do ambiente para o gás.

Q D A = n 5 2 R T 0 . - 1,64 < 0

O calor tá sendo transferido do sistema para o ambiente.

d)

W c i c l o = 2 P 0 V 0

e)

e = 33 %

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