Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

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Enunciado

Um mol de gás ideal monoatômico é submetido ao ciclo mostrado na figura.

a   Desenhe o ciclo correspondente no plano (P.V) especificando o tipo de cada etapa.

b   Calcule o trabalho realizado (ou sofrido) pelo gás em cada etapa, em termos dos dados da figura e da constante universal dos gases R .

c   Calcule o calor absorvido (ou cedido) pelo gás em cada etapa, em termos dos dados da figura e da constante universal dos gases R .

d   Este ciclo corresponde a um motor ou a um refrigerador? Por quê?

Passo 1

a   Bom galera, pra desenhar isso ai é só você perceber qual é o processo que acontece em cada trecho:

a → b : Processo isotérmico. T = c t e .

b → c : Processo isovolumétrico. V = c t e .

c → d : Processo isotérmico.   T = c t e .

d → a : Processo isovolumétrico. . V = c t e .

Então, o desenho ficará assim:

Passo 2

b   São 4 processos, mas dois deles acontecem a volume constantes. Então, o trabalho desses dois será igual à zero. Os outros dois processos são isotérmicos. Vamos lá:

a → b : Processo isotérmico.   T = c t e .:

O trabalho é dado por:

W = ∫ P d V

Como:

P = n R T V

Então:

W = ∫ n R T d V V = n R T l n V f V i

Show? Agora vamos substituir os valores que vemos no gráfico:

W a b = n R T a ln ⁡ V B V A

Como n = 1 :

W a b = R T a ln ⁡ V B V A

É isso.

b → c : Processo isovolumétrico. V = c t e .

Como a gente viu:

W b c = 0

c → d : Processo isotérmico.   T = c t e .:

Jogo rápido: Bem parecido com a → b :

W = n R T l n V f V i

W c d = n R T c ln ⁡ V D V C

Como n = 1 :

W c d = R T c ln ⁡ V D V C

d → a : Processo isovolumétrico. . V = c t e . :

Como a gente viu:

W d a = 0

Passo 3

c   Vamos lá:

a → b : Processo isotérmico. T = c t e .:

Bom, como o processo é isotérmico, a variação da energia interna é nula e, pela primeira lei da termo, teremos:

∆ U a b = Q a b - W a b

∆ U a b = 0

0 = Q a b - W a b

Q a b = W a b = n R T a ln ⁡ V B V A

b → c : Processo isovolumétrico. V = c t e :

O calor trocado aqui é o calor trocado a volume constante. Então você já sabe, vamos usar c v :

Q b c = n c v ∆ T

Como o gás é monoatômico e se trata de um mol de gás:

c v = 3 R 2

n = 1

Então:

Q b c = 3 R 2 ( T c - T b )

c → d : Processo isotérmico.   T = c t e .

De novo, como é um processo isotérmico:

Q c d = W c d = n R T c ln ⁡ V D V C

d → a : Processo isovolumétrico. . V = c t e .

Novamente, usando c v :

Q d a = 3 2 R T a - T d

Q d a = - 3 2 R T d - T a

Passo 4

d   Vamos olhar para o trabalho total. Se ele for negativo, é um refrigerador, se for positivo, é uma maquina térmica.

Então:

W t o t a l = W a b + W b c + W c d + W d a = W a b + 0 + W c d + 0

W t o t a l = W a b + W c d = W a b = R T a ln ⁡ V B V A + R T c ln ⁡ V D V C

Como V b < V a . O quociente acima vai dar um numero menor que 1. Então:

W t o t a l = R T c ln ⁡ V D V C - R T a ln ⁡ V A V B

Mas, como V A = V D , V c = V b , então:

W t o t a l = R l n V a V b T c - T a

Show? Agora olhe o gráfico... T c é maior que T a . Então, o trabalho total é positivo.

T c - T a > 0 → W t o t a l > 0

Logo, o ciclo representa uma máquina térmica!!!

Resposta

a    

b     W a b = R T a ln ⁡ V B V A ; W b c = 0 ; W c d = R T c ln ⁡ V D V C ; W d a = 0

c   Q a b = R T a ln ⁡ V B V A ; Q b c = 3 R 2 ( T c - T b ) ; Q c d = R T c ln ⁡ V D V C ; Q d a = - 3 2 R T d - T a

d     T c - T a > 0 → W t o t a l > 0 Logo, o ciclo representa uma máquina térmica!!!

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