Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

UFRJ – 1ª Prova – 2015

Em uma máquina de Stirling idealizada o fluido de trabalho (considerado um gás ideal) realiza as seguintes etapas reversíveis:

( a → b ) : Uma expansão isotérmica do volume V 1 ao volume V 2 à temperatura T H . ( b → c ) : Um resfriamento a volume constante, atingindo a temperatura T C . c → d : Uma compressão isotérmica à temperatura T C , reduzindo o volume de V 2 a V 1 . ( d → a ) : Um aquecimento a volume constante, de forma que o gás retorne ao seu estado inicial.

Expresse suas respostas em termos de T H , T C , V 1 e V 2 , da constante dos gases R , do calor específico molar a volume constante C V e do número de moles n do fluido.

a   Esquematize o diagrama PV para este ciclo.

b   Calcule o trabalho realizado em cada etapa deste ciclo.

c   Calcule o calor transferido em cada etapa deste ciclo.

( d ) A eficiência da máquina.

Passo 1

a   Antes desenhar, vamos pensar um pouco:

Nos processos b → c e d → a , temos aquecimentos e resfriamentos à volume constante. Então sabemos que ali nós vamos desenhar retas paralelas ao eixo das pressões.

Os outros dois processos são transformações isotérmicas, então você já sabe que vão ter duas isotermas ali. Então, ligando os pontos com as isotermas e as transformações a volume constante, o gráfico ficará assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Onde existe realização de trabalho nesse ciclo? Onde há variação de volume! Então sabemos que não pode acontecer em b → c e d → a . Ali, como os volumes são constantes, o trabalho é igual à zero.

Logo, o trabalho ocorre nas transformações isotérmicas.

Vamos calcular primeiro o trabalho de a → b :

O trabalho sempre é dado por:

W = ∫ P d V

Fazendo:

P V = n R T  

P = n R T V

Logo:

W = ∫ P d V

W = ∫ n R T V d V

W = n R T l n V F V I

No caso desse processo, T = T H , V F = V 2 e V I = V 1 :

W a b = n R T H ln ⁡ V 2 V 1

Para o processo c → d a coisa fica bem parecida, só que no caso T = T C . V I = V 2 e V F = V 1 :

W c d = n R T C ln ⁡ V 1 V 2

Passo 3

c   Vamos analisar primeiro o processo a → b :

Como a temperatura é sempre a mesma, a variação de energia interna, que é uma função da temperatura, é nula. Isso sempre acontece: Quando a variação de temperatura é nula, a variação de energia interna também é. Então, pela primeira lei da termodinâmica:

∆ U = Q - W

0 = Q - W

Q = W

Logo:

Q a b = W a b = n R T H ln ⁡ V 2 V 1

b → c :

Aqui a gente calcule a troca de calor através da expressão básica do calor:

Q = n C v ∆ T

Podemos usar ou C v ou C p , dependendo do caso. Como a transformação é a volume constante, usamos C v . Então:

Q b c = n C v ( T C - T H )

c → d :

Aqui, novamente, por se tratar de uma transformação isotérmica:

Q c d = W c d = n R T C ln ⁡ V 1 V 2

d → a :

De novo uma transformação isovolumétrica. Logo:

Q d a = n C V ( T H - T C )

Passo 4

d A eficiência será dada por:

e = W Q q u e n t e

O trabalho total será a soma dos trabalhos que a gente encontrou:

W = n R T H ln ⁡ V 2 V 1 + n R T C ln ⁡ V 1 V 2

W = n R T H ln ⁡ V 2 V 1 - n T C ln ⁡ V 2 V 1

W = nRln ⁡ V 2 V 1 T H - T C

Já o calor que vem da fonte quente é dado por:

Q q u e n t e = Q a b + Q d a = n R T H ln ⁡ V 2 V 1 + n C V ( T H - T C )

Logo:

e = nRln ⁡ V 2 V 1 T H - T C n R T H ln ⁡ V 2 V 1 + n C V ( T H - T C )

e = ln ⁡ V 2 V 1 T H - T C T H ln ⁡ V 2 V 1 + C V R ( T H - T C )

Resposta

a

b W a b = n R T H ln ⁡ V 2 V 1 ; W c d = n R T C ln ⁡ V 1 V 2

c   Q a b = W a b = n R T H ln ⁡ V 2 V 1 ; Q b c = n C v ( T C - T H ) ; Q c d = W c d = n R T C ln ⁡ V 1 V 2

Q c d = W c d = n R T C ln ⁡ V 1 V 2 ; Q d a = n C V ( T H - T C )

d   e = ln ⁡ V 2 V 1 T H - T C T H ln ⁡ V 2 V 1 + C V R ( T H - T C )

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