Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

Um mol de um gás monoatômico ideal é utilizado como substância de trabalho de uma máquina térmica que opera de acordo com o ciclo mostrado no diagrama P V da figura. Suponha que P 1 = 2 P 0 e V 1 = 2 V 0 . A etapa d → a corresponde a um processo irreversível em que o trabalho realizado vale W = - P 0 V 0

(a) Determine as temperaturas nos pontos a , b , c e d

(b) Determine o calor Q , o trabalho W e a variação de energia interna Δ U em cada etapa deste ciclo

(c) Calcule a eficiência desta máquina térmica

(d) Determine a variação de entropia em cada etapa deste ciclo.

Passo 1

(a)

Para calcular a temperatura em cada ponto temos que usar a equação dos gases ideais em cada um desses pontos

P V = n R T

Como temos só um mol de gás, basta substituir n = 1

P V = R T

T = P V R

Como no nosso diagrama, nossas pressões e volumes estão expressos como função de P 0 e V 0 a temperatura em cada caso tem que ser expresso em função desses caras

- Ponto a

T a = P a V a R = P 0 V 0 R

- Ponto b

T b = P b V b R = 2 P 0 V 0 R = 2 P 0 V 0 R

- Ponto c

T c = P c V c R = ( 2 P 0 ) ( 2 V 0 ) R = 4 P 0 V 0 R

- Ponto d

T d = P d V d R = P 0 2 V 0 R = 2 P 0 V 0 R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Vamos acertar a nossa estratégia aqui! Como já calculamos as temperaturas no passo anterior fica mais fácil relacionar a variação de energia interna com a variação de temperatura por

Δ U = 3 2 n R Δ T = 3 2 R Δ T

(Lembrando que n = 1 )

Já o trabalho é dado por

W = ∫ p d V

Só que no nosso diagrama só temos processos isobáricos (pressão constante) e processos isovolumétricos (volume constante). Assim essa integral do trabalho fica fácil!

W = p Δ V - I s o b á r i c o             0 - I s o v o l u m é t r i c o

Agora pra achar o calor basta usar a primeira lei da Termodinâmica, já que já temos o calor e o trabalho de cada caso!

Δ U = Q - W → Q = Δ U + W

Belezinha? Vamos aplicar isso então!

Passo 3

Processo a → b

Variação de energia interna

Δ U a b = 3 2 R Δ T a b = 3 2 R 2 P 0 V 0 R - P 0 V 0 R

Δ U a b = 3 2 P 0 V 0

Trabalho

W a b = 0   ( I s o v o l u m é t r i c o )

Calor

Q a b = Δ U a b + W a b = 3 2 P 0 V 0 + 0

Q a b = 3 2 P 0 V 0

Processo b → c

Variação de energia interna

Δ U b c = 3 2 R Δ T b c = 3 2 R 4 P 0 V 0 R - 2 P 0 V 0 R

Δ U b c = 3 P 0 V 0

Trabalho

W b c = 2 P 0 2 V 0 - V 0 E x p a n s ã o   I s o b á r i c a

W b c = 2 P 0 V 0

Calor

Q b c = Δ U b c + W b c = 3 P 0 V 0 + 2 P 0 V 0

Q b c = 5 P 0 V 0

Processo c → d

Variação de energia interna

Δ U c d = 3 2 R Δ T c d = 3 2 R 2 P 0 V 0 R - 4 P 0 V 0 R

Δ U c d = - 3 P 0 V 0

Trabalho

W c d = 0 I s o v o l u m é t r i c o

Calor

Q c d = Δ U c d + W c d = - 3 P 0 V 0 + 0

Q c d = - 3 P 0 V 0

Processo d → a

Variação de energia interna

Δ U d a = 3 2 R Δ T d a = 3 2 R P 0 V 0 R - 2 P 0 V 0 R

Δ U d a = - 3 2 P 0 V 0

Trabalho

W d a = P 0 V 0 - 2 V 0 C o n t r a ç ã o   I s o b á r i c a

W d a = - P 0 V 0

Calor

Q d a = Δ U d a + W d a = - 3 2 P 0 V 0 - P 0 V 0

Q d a = - 5 2 P 0 V 0

Passo 4

(c)

Para calcular a eficiência dessa máquina podemos fazer

η = Q Q - Q F Q Q

Onde Q Q é a soma dos calores recebidos pelo gás

Q Q = Q a b + Q b c = 3 2 P 0 V 0 + 5 P 0 V 0

Q Q = 13 2 P 0 V 0

E Q F é a soma dos calores doados pelo gás

Q F = Q c d + Q d a = - 3 P 0 V 0 - 5 2 P 0 V 0

Q F = - 11 2 P 0 V 0

Assim

η = 13 2 P 0 V 0 - 11 2 P 0 V 0 13 2 P 0 V 0 = 13 - 11 13

η = 2 13

Passo 5

(d)

Pra calcular a variação de entropia, vamos usar

Δ S = ∫ d Q T

O processo a → b é um processo isovolumétrico, então o calor infinitesimal é dado por

d Q = n C V d T = C V d T

(Lembrando que n = 1 )

Assim

Δ S a b = ∫ a b C V d T T = C V ∫ a b d T T = C V ln ⁡ T b - ln ⁡ T a = C V ln ⁡ T b T a

Agora temos que lembrar que pra um gás monoatômico

C V = 3 2 R

Substituindo C V e os valores de temperatura que encontramos no passo 1:

Δ S a b = 3 2 R ln ⁡ T b T a = 3 2 R ln ⁡ 2 P 0 V 0 R P 0 V 0 R  

Δ S a b = 3 2 R ln ⁡ 2

O processo b → c é um processo isobárico, então o calor infinitesimal é dado por

d Q = n C P d T = C P d T

Assim

Δ S b c = ∫ b c C P d T T = C P ∫ b c d T T = C P ln ⁡ T c - ln ⁡ T b = C P ln ⁡ T c T b

Agora temos que lembrar que pra um gás monoatômico

C P - C V = R → C P = C V + R → C P = 5 2 R

Substituindo C P e os valores de temperatura que encontramos no passo 1:

Δ S b c = 5 2 R ln ⁡ T c T b = 5 2 R ln ⁡ 4 P 0 V 0 R 2 P 0 V 0 R  

Δ S b c = 5 2 R ln ⁡ 2

O processo c → d é um processo isovolumétrico, então o calor infinitesimal é dado por

d Q = C V d T

Assim

Δ S c d = ∫ c d C V d T T = C V ∫ c d d T T = C V ln ⁡ T d - ln ⁡ T c = C V ln ⁡ T d T c

Já vimos que pra um gás monoatômico C V = 3 R / 2

Substituindo C V e os valores de temperatura que encontramos no passo 1:

Δ S c d = 3 2 R ln ⁡ T d T c = 3 2 R ln ⁡ P 0 V 0 R 2 P 0 V 0 R  

Δ S c d = 3 2 R ln ⁡ 1 2 = - 3 2 R ln ⁡ 2

Agora o processo d → a é um processo irreversível!!! Não podemos usar Δ S = ∫ d Q / T diretamente! Mas a nossa salvação é que num ciclo a variação de entropia tem que ser nula! Assim

Δ S c i c l o = 0

Δ S a b + Δ S b c + Δ S c d + Δ S d a = 0

3 2 R ln ⁡ 2 + 5 2 R ln ⁡ 2 - 3 2 R ln ⁡ 2 + Δ S d a = 0

Δ S d a = - 5 2 R ln ⁡ 2

Outra forma de fazer, é o seguinte: o enunciado diz que o processo d → a é irreversível. Como a entropia é uma função de estado, podemos pensar num processo reversível que tenha como estados inicial e final a e d e dizer que

Δ S d a i r r e v e r s í v e l = Δ S d a r e v e r s í c e l

O processo mais fácil de pensar é um processo isobárico conectando a e d . Nesse processo d Q = C P d T

Δ S d a r e v = C P ∫ d a d T T = 5 2 R ln ⁡ T a T d = 5 2 R ln ⁡ P 0 V 0 R 2 P 0 V 0 R

Δ S d a r e v = - 5 2 R ln ⁡ 2

Logo pro processo irreversível vai ser a mesma coisa

Δ S d a i r r e v = - 5 2 R ln ⁡ 2

Mas cuidado! Você tem que deixar bem claro o raciocínio na hora de explicar que está usando um processo reversível para calcular um processo irreversível já que a entropia é uma função de estado, hein!!!

Resposta

(a)

- Ponto a

T a = P a V a R = P 0 V 0 R

- Ponto b

T b = P b V b R = 2 P 0 V 0 R = 2 P 0 V 0 R

- Ponto c

T c = P c V c R = ( 2 P 0 ) ( 2 V 0 ) R = 4 P 0 V 0 R

- Ponto d

T d = P d V d R = P 0 2 V 0 R = 2 P 0 V 0 R

(b)

Processo a → b

Variação de energia interna

Δ U a b = 3 2 P 0 V 0

Trabalho

W a b = 0  

Calor

Q a b = 3 2 P 0 V 0

Processo b → c

Variação de energia interna

Δ U b c = 3 P 0 V 0

Trabalho

W b c = 2 P 0 V 0

Calor

Q b c = 5 P 0 V 0

Processo c → d

Variação de energia interna

Δ U c d = - 3 P 0 V 0

Trabalho

W c d = 0

Calor

Q c d = - 3 P 0 V 0

Processo d → a

Variação de energia interna

Δ U d a = - 3 2 P 0 V 0

Trabalho

W d a = - P 0 V 0

Calor

Q d a = - 5 2 P 0 V 0

(c)

η = 2 13

(d)

Δ S a b = 3 2 R ln ⁡ 2

Δ S b c = 5 2 R ln ⁡ 2

Δ S c d = - 3 2 R ln ⁡ 2

Δ S d a = - 5 2 R ln ⁡ 2

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