Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

​Uma amostra com 20,0   m o l e s de um gás ideal diatômico, C V = 5 R / 2 , é submetida a um processo cíclico, A → B → C → A . Inicialmente, ( A ) , o gás ocupa um volume de 2,0   m 3 à temperatura de 120,3   K e então é comprimido adiabaticamente até atingir o volume de 1,0   m 3 , ponto ( B ) . Em seguida, o gás é aquecido a pressão constante até retornar ao volume inicial, ( C ) . Finalmente o gás retorna ao ponto ( A ) em um processo no qual o volume é mantido constante.

( a ) Determine os valores de pressão, volume e temperatura remanescentes nos pontos A ,   B ,   C , completando a tabela a seguir.

( b ) Faça um esboço do processo no plano P   v s .   V .

c Preencha a tabela com os valores determinados para o calor trocado e o trabalho realizado em cada trecho do processo cíclico, tomando os sinais positivos como os correspondentes a calor recebido e a trabalho realizado pelo gás e negativos em casos opostos.

( d ) Qual é a eficiência de uma máquina térmica que opere com esse processo cíclico?

Passo 1

a Alguns valores foram dados pelo enunciado já, então não precisamos nem fazer conta.

O volume em B foi dado e é 1   m 3 e o em C também, já que ele volta ao volume inicial. E como o processo B → C é isobárico então P B = P C . Então nossa tabela já está assim:

Vamos agora estudar o processo A → B   que é adiabático, então Q = 0 e P V γ = c t e

Como não temos informação sobre o trabalho nem variação de energia interna. Vamos usar a relação P V γ = c t e

Como a constante γ é

γ = C p C v

E existe uma relação entre C p e C v :

C p = C v + R

Assim, a nossa constante vale:

γ = C v + R C v = 5 R / 2 + R 5 R / 2

γ = 7 R / 2 5 R / 2 = 7 5 = 1,4

Sabendo o valor de γ , podemos usar a relação que terminamos de falar

P A . V A γ = P B . V B γ

Então vamos descobrir P 2

0,1.2 1 , 4 = P B . 1 1 , 4

P B = 0,1 . 2,6 = 0 , 26

P B = 0 , 26 . 10 5   P a

Agora, podemos usar o “PiViTi-PoVoTo”:

P A . V A T A = P B . V B T B

0,1.2 120,3 = 0,26.1 T B

T B = 156,4   K

Para completar a tabela falta apenas encontrarmos o valor de T C , porque já encontramos P C

P C = P B = 0,26   . 10 5   P a

E para descobrirmos a temperatura em C , vamos usar “PiViTi-PoVoTo”, novamente.

P B . V B T B = P C . V C T C  

0,26.1 156,4 = 0,26.2 T C

T C = 2.156,4 = 312,8   K

E assim completamos nossa tabela

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Vamos desenhar um gráfico P x V então

Em vermelho está os estados A ; B e C , falta agora só fazermos o curva que representa o processo de um estado para o outro.

Do estado A para B temos um processo adiabático então a curva no gráfico P x V é uma hipérbole. E o processo B → C é a pressão constante então é uma reta horizontal e o processo C → A é isovolumétrico então é uma reta vertical.

Desta forma, o gráfico fica assim:

Passo 3

c   Agora vamos utilizar a primeira lei da termodinâmica para conseguirmos completar essa outra tabela.

O primeiro processo é A → B que é adiabático então Q = 0 e Δ U = - W

Como a variação da energia interna é dada por:

Δ U = g 2 n R Δ T

Como o gás é diatômico, g = 5 , o número de mols foi dado n = 20 . O valor da constante R é 8,314   J / m o l K .

Δ U = 5 2 . 20.8,314 . 156,4 - 120,3

Δ U = 14,7   k J ≅ 15   k J

Como o trabalho é W = - Δ U , então

W = - 15   k J

A primeira linha da tabela está completa.

Passo 4

Agora vamos analisar o processo B → C que isobárico, em um processo a pressão constante o trabalho é dado:

W = P . Δ V

W = 0,26.10 5 . 2 - 1 = 0,26.10 5   J

E o Calor trocado é

Q p = n c p . Δ T

No primeiro passo já vimos que c p = 7 R / 2

Q p = 20.7 R 2 . 312,8 - 156,4

Q p = 91   k   J

E assim completamos a segunda linha da tabela

Passo 5

Por último analisaremos o processo C → A , por ser um processo a volume constante. O trabalho é zero por não ter variação de volume. W = 0

E o calor trocado é dado por:

Q v = n c v . Δ T

Q v = 20.5 R 2 . 120,3 - 312,8

Q v = - 80   k J

Por fim, completamos a tabela

Passo 6

d A fórmula do rendimento é dada por

n = W c i c l o Q q

O trabalho do ciclo é só somarmos W A → B   com W B → C e W C → A

W C i c l o = - 15.10 3 + 0,26.10 5 + 0 = 0,11   . 10 5   J

E o Q q é o calor recebido pelo ciclo, assim o rendimento é:

n = 0,11.10 5 91.10 3 = 0,13 ≅ 0,1  

Resposta

a  

b  

c

d   n = 0,1

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