Exercícios Resolvidos de Máquinas Térmicas e Refrigeradores

Questão 9, UFF, P2-2015.2

O funcionamento do motor a gasolina de seu carro pode ser tratado pelo modelo do Ciclo de Otto representado na figura abaixo. Neste motor, r   = V m á x V m í n é o fator de compressão:

Usando as relações adiabáticas entre T 1 T 2 e T 3 ↔   T 4 , pode-se mostrar que o rendimento vale:

  1. η   =   1   + 1 r γ - 1
  2. η   =   1 - r 1 - γ
  3. η   =   1 - 1   r γ - 1
  4. η   =   1 + r 1 - γ
  5. η   =   1 - 1 r γ + 1

Passo 1

Bom, o rendimento de um motor é dado por:

η = W Q f o r n e c i d o

Vamos lembrar como fizemos pra calcular o trabalho total do ciclo de Otto?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, segundo a primeira lei da termodinâmica, o trabalho de uma transformação adiabática pode ser calculado por:

∆ U = Q - W

Como:

Q = 0

∆ U = - W → W = - ∆ U

Como ∆ U pode ser calculado por:

∆ U = n c v ∆ T

Então:

W = - n c v ∆ T

Passo 3

Bom, vamos tentar alterar um pouco o formato da equação que achamos:

Temos:

W = - n c v ∆ T

Vamos usar as equações:

γ = c p c v

c p = c v + R

Pra modifica-la:

c v = c p - R

c v = c v . γ - R

c v 1 - γ = - R → c v = - R 1 - γ →   - c v = R 1 - γ

Substituindo na equação inicial:

W = n R ∆ T 1 - γ

Passo 4

Beleza, já achamos uma equação que representa o trabalho de uma transformação adiabática. Bora calcular o trabalho total do sistema agora: Só há realização de trabalho nos trechos 1 → 2 e 3 → 4 . Os outros trechos ocorrem a volume constante.

Assim:

W 12 = n R 1 - γ T 2 - T 1

E:

W 34 = n R 1 - γ T 4 - T 3

O trabalho total será dado pela soma dos trabalhos:

W = W 12 + W 34 = n R 1 - γ ( T 2 - T 1 + T 4 - T 3 )

Passo 5

Já temos o trabalho. Agora precisamos de duas coisas: Do calor fornecido ao ciclo e das relações adiabáticas envolvendo as temperaturas citadas no enunciado.

Em qual trecho o calor é fornecido?

Como nos trechos adiabáticos não há transferência de calor, só nos resta os trechos 2 → 3 e 4 → 1 . Quando um gás recebe calor, ele tende a inflar, ou seja, aumentar o seu volume, certo? Então o trecho onde o calor é fornecido ao gás é o trecho 2 → 3 .

Esse calor pode ser calculado por:

Q 23 = n c v ∆ T

Como vimos:

n c v = n R γ - 1

Assim:

Q 23 = n R γ - 1 ∆ T = - n R 1 - γ ∆ T = - n R 1 - γ T 3 - T 2

E as relações adiabáticas envolvendo temperaturas?

Bom, pra isso é só você seguir por esse caminho aqui:

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

Usando a equação geral dos gases:

P V = n R T → P = n R T V

Assim:

n R T 1 V 1 V 1 γ = n R T 2 V 2 V 2 γ  

T 1 V 1 γ - 1 = T 2 V 2 γ - 1

Calma! Vamos que tá quase lá.

Passo 6

Voltando a equação do rendimento:

η = W Q f o r n e c i d o

Substituindo os valores encontrados pro trabalho e pro calor fornecido:

η = n R 1 - γ T 2 - T 1 + T 4 - T 3 - n R 1 - γ T 3 - T 2 = - T 2 - T 1 + T 4 - T 3 T 3 - T 2

η = T 3 - T 2 + T 1 - T 4 T 3 - T 2 = 1 + T 1 - T 4 T 3 - T 2

Passo 7

Agora é a hora de a gente usar aas relações adiabáticas entre T 1 T 2 e T 3 ↔   T 4 :

η = 1 + T 1 - T 4 T 3 - T 2

Vamos escrever as temperaturas do denominador em função das temperaturas de baixo. Isso é:

T 1 V 1 γ - 1 = T 2 V 2 γ - 1 → T 1 = T 2 V 2 γ - 1 V 1 γ - 1

E:

T 3 V 3 γ - 1 = T 4 V 4 γ - 1 → T 4 = T 3 V 3 γ - 1 V 4 γ - 1

Agora vem o pulo do gato: vamos escrever com os chamados volumes máximos e mínimos que o enunciado exige. Olhando no gráfico, você pode perceber que os volumes: V 1   e   V 4 são os volumes máximos, assim como os volumes: V 2   e   V 3 são os volumes mínimos. Então podemos reescrever as relações acima como:

Lembrando que:

r   =   V m á x V m í n  

T 1 = T 2 V m í n γ - 1 V m á x γ - 1 = T 2 V m í n V m á x γ - 1 = T 2 r γ - 1

E:

T 4 = T 3 V m í n γ - 1 V m á x γ - 1 = T 3 V m í n V m á x γ - 1 = T 3 r γ - 1

Assim:

η = 1 + T 1 - T 4 T 3 - T 2

η = 1 + T 2 r γ - 1 - T 3 r γ - 1 T 3 - T 2 = 1 - 1 r γ - 1 . T 3 - T 2 T 3 - T 2 = 1 - 1 r γ - 1

η = 1 - 1 r γ - 1

Fim!

Resposta

c)

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