Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Se P 0 = x 0 ,   y 0 é o ponto na curva y + x 2 = 0 que está mais próximo de - 12 ,   - 15 2 então x 0 + y 0 é:

  1. - 2
  2. - 12
  3. - 6
  4. - 20
  5. nenhuma das alternativas

Passo 1

Temos aqui um problema de otimização: queremos o ponto P 0 da curva y + x 2 = 0 que seja mais próximo do ponto - 12 ,   - 15 2 .

A distância D a esse ponto é dada por:

D = x - - 12 2 + y - - 15 2 2

→ D = x + 12 2 + y + 15 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas o nosso P 0 está na curva de equação

y + x 2 = 0 → y = - x 2

Utilizando isso:

D = x + 12 2 + - x 2 + 15 2 2

Assim a distância ficou só em função de x , podemos escrever:

D x = x + 12 2 + 15 2 - x 2 2

Passo 3

Desenvolvendo essa função distância:

D x = x 2 + 24 x + 12 2 + 15 2 2 - 15 x 2 + x 4

D x = x 4 - 14 x 2 + 24 x + 12 2 + 15 2 2

Passo 4

Vamos derivar isso aí pra achar os pontos críticos da função. Pela regra da cadeia:

D ' x = 4 x 3 - 28 x + 24 2 x 4 - 14 x 2 + 24 x + 12 2 + 15 2 2

Agora vamos zerar essa derivada:

D ' x = 0 → 4 x 3 - 28 x + 24 = 0

Dividindo tudo por 4 :

x 3 - 7 x + 6 = 0

Passo 5

Hmm... polinômio de 3º grau. Meio chatinho de resolver. Mas enfim lá do pré-cálculo a priori sabemos procurar raízes de polinômios assim. Não vou entrar em detalhes aqui, porque acho que faria a gente perder um belo tempo para algo que foge do escopo da matéria (se você não concorda avisa aí!).

Enfim, temos que:

x 3 - 7 x + 6 = 0 ⇔ x - 1 x - 2 x + 3 = 0

Então os pontos críticos da função estão em x = 1 ,   x = 2 e x = - 3 .

Passo 6

Agora vamos montar um quadro de sinais pra estudar o sinal da derivada.

Vimos que

x 3 - 7 x + 6 = x - 1 x - 2 x + 3

Então

4 x 3 - 28 x + 24 = 4 x - 1 x - 2 x + 3

⇒ D ' x = 4 x - 1 x - 2 x + 3 2 x 4 - 14 x 2 + 24 x + 12 2 + 15 2 2 = 2 x - 1 x - 2 x + 3 x 4 - 14 x 2 + 24 x + 12 2 + 15 2 2

Aqui está o quadro:

Passo 7

Pelo teste da primeira derivada tiramos que

  • x = - 3 é um ponto de mínimo local
  • x = 1 é um ponto de máximo local
  • x = 2   é um ponto de mínimo local

O que nós queremos é o mínimo global, então a disputa esta entre os pontos x = - 3 e x = 2 . Pra determinar qual é o certo sem muito trabalho, basta usar o bom senso.

Como os pontos estão na curva y = - x 2 , esses nossos candidatos são - 3 ,   - 9 e 2 ,   - 4 . Queremos saber quais desses está mais próximo de - 12 ,   - 15 2 = - 12 ,   7,5 .

Fica meio óbvio que o ponto - 3 ,   - 9 está mais perto né? E se não ficar dá pra fazer um esboço grosseiro pra visualizar melhor.

Pode ser bem grosseiro mesmo:

(Não, não foi uma criança de 5 anos que fez esse esboço.)

Passo 8

Então pra concluir: nosso ponto P 0 é:

P 0 = x 0 ,   y 0 = - 3 ,   - 9

Logo,

x 0 + y 0 = - 3 - 9 = - 12

Resposta

Letra (b)

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