Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Passo 1

Vamos fazer um esboço da situação:

Dado esse esboço, temos o seguinte que o custo vai ser dado pelo custo do comprimento do em volta do terreno (azul) somado ao comprimento no centro (vermelho), o que nos dá:

C = 5 2 a + 2 b + 6 b

Onde temos que a área vale sempre 1000   m 2 , ou seja:

1000 = a   b   →     a = 1000 b

Logo, a função fica

C b = 10 a + 10 b + 6 b = 10000 b + 16 b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos otimizar a função, derivando-a e igualando a 0 :

C ' b = 10000 b + 16 b ' = - 10000 b 2 + 16 = 0

10000 b 2 = 16 → b 2 = 10000 16

b = 100 4 = 25   m

O que gera a = 1000 25 = 40   m .

Passo 3

Para garantir que esse é um ponto de mínimo, aplicamos o limite de C quando b → ± ∞ . Fazendo isso, veremos que C explode para + ∞

lim b → + ∞ ⁡ 10000 b + 16 b = + ∞

lim b → - ∞ ⁡ 10000 b + 16 b = + ∞

Somado a isso o fato de que só temos um ponto crítico, temos a certeza que b = 25 é um ponto de mínimo!

Resposta

a = 40   m       ;       b = 25   m

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