Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UERJ - Cálculo 1 - Lista Derivadas – 6

Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de R $   12 / m no lado paralelo ao rio e de R $   8 / m nos dois extremos, ache o campo de maior área que possa ser cercado com R $ 3.600 de materiais.

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Bom, comecei desenhando esse caso aí:

A área do retângulo, que é o formato do campo, vai ser dada por:

A = a ⋅ b

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Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Sendo que temos como limitante aquele preço de R $ 3.600 . Bom, se custa R $   12 / m a cerca do lado paralelo e R $   8 / m a dos outros dois, posso criar um custo, estando a e b em metros, dado por essa equação:

C a , b = 12 a + 8 b + 8 b

Repara que são dois lados de comprimento b e um lado a . Como ele diz que esse custo é fixo em R $ 3.600 , ficamos assim:

3600 = 12 a + 16 b

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Juntando a última equação à da área, tendo colocado o b em evidência:

A a = a ⋅ b = a 3600 - 12 a 16 = 225 a - 3 a 2 4

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Se eu procuro o ponto crítico da área, ou seja, a maior possível, devo derivar e igualar a 0 esta equação:

A ' a = 225 - 6 a 4

225 - 6 a 4 = 0

6 a 4 = 225

a = 150

Como é um polinômio, a derivada sempre vai existir.

Passo 5

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Como a derivada é fácil de calcular, é melhor derivar de novo e aplicar o teste da segunda derivada.

A ' ' a = - 6 4 < 0

Como a segunda derivada é negativa, esse é um ponto de máximo.

Passo 6

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros pontos críticos a calcular, então, próximo passo!

Passo 7

Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo 6 e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

Olhando para função área:

A a = 225 a - 3 a 2 4

Vemos que o menor valor para a é zero, uma vez que é uma medida. O maior é a → ∞ . Para zero. A área é zero e inútil. Para a → ∞ :

lim a → ∞ ⁡ 225 a - 3 a 2 4 = - ∞

O que também não é aplicável. Dessa maneira a = 150 é um ponto de máximo global, onde:

A 150 = 225 150 - 3 150 2 4 = 16875

Eu sei que é repugnante, mas esse é nosso resultado.

Resposta

A = 16875

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