Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

Determine as dimensões de um cone circular reto de maior volume cuja geratriz tenha 5 c m de comprimento.

Passo 1

Bom, o volume do cone é dado por:

V = A . h 3 = π r 2 h 3

E nós temos a seguinte relação entre r e h :

r 2 + h 2 = 5 2

r 2 = 25 - h 2

Substituindo na equação do volume nós chegamos a uma função unicamente de h :

V = π 3 25 - h 2 h = π 3 25 h - h 3

Passo 2

Vamos agora derivar e igualar a 0 para otimizar a função do volume:

V ' h = π 3 25 - 3 h 2 = 0

3 h 2 = 25

h = ± 5 3

Como a altura não pode ser negativa, achamos que há um ponto crítico em h = 5 3 ao substituir a derivada por valores menores que esse e maiores que esse notaremos que a derivada era positiva e depois fica negativa. Esse vai ser um ponto de máximo portanto. Agora basta descobrir o valor de r para esse h :

r 2 = 25 - h 2 = 25 - 25 3

r 2 = 50 3

r = 5 2 3

Resposta

D i m e n s õ e s : r = 5 2 3 u . d .   ; h = 5 3 u . d .

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