Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que seu volume seja 2500 m 3 . O material da base vai custar R $ 1200,00 por m 2 e o material dos lados R $ 980,00 por m 2 . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala em uma caixa de base quadrada e sem tampa que precisa ter um volume de 2500 m 3 . Foi dado o custo de fabricação e perguntou quais seriam as dimensões que o custo seja mínimo

Puxa, vida e agora? Como encontrar isso?

Quando você tiver questões que perguntem custo mínimo, volume máximo e etc. estamos falando de problemas de otimização!

Normalmente nesses problemas são dados uma informação concreta (no nosso caso o volume da caixa) e uma pergunta algo sobre outro aspecto (no nosso caso o custo)

A ideia para solucionar esse tipo de problema é construir duas equações com as informações e relacionar as variáveis, de forma que você fique apenas com uma variável na função que quer determinar o máximo ou o mínimo

E valos máximo/mínimo se descobre como? Derivando e igualando a zero!

Então é isso! Usando esses passos você encontra tudo que o problema pede!

Mas relaxa, vou fazer com você passo a passo!

Passo 2

Temos uma caixa de base quadrada e sem tampa, então podemos dizer que a aresta da base mede x e a altura h

2500 m 3 , ficamos com a seguinte equação

V = x 2 h = 2500

Usa relação entre x e h ! Perfeito!

Agora vamos ao nosso custo! O valor da base é de R $   1200 por m 2 , então vamos relacionar a área x 2   da base (e apenas base, não temos tampa!) com esse valor

b a s e → 1200 x 2

E as laterais custam R $   980 por m 2 , e temos quatro lados de área ( x h ) :

l a d o s → 980.4 x h = 3920 x h

E agora? Agora vamos construir uma função que dê o custo total dessa caixa (já que é essa quantidade que precisará ser mínima!)

C x , h = 1200 x 2 + 3920 x h

Então temos duas expressões que caracterizam nosso problema

x 2 h = 2500

C x , h = 1200 x 2 + 3920 x h

Lembra que o problema pede que o custo seja mínimo, então precisamos derivar a função custo! Para isso acontecer, ela precisa estar em termos de apenas uma variável, então vamos usar a relação que veio do volume para eliminar a altura da função custo

h = 2500 x 2

aí temos

C x = 1200 x 2 + 3920 x . 2500 x 2

C x = 9,8 × 10 6 x + 1200 x 2

Agora nossa missão passou a ser encontrar pontos críticos dessa coisa! E torcer para que seja ponto de mínimo! (vai ser, confia!)

Passo 3

Precisamos derivar a função custo e igualar a zero

C x = 9,8 × 10 6 x + 1200 x 2

C ' x = - 9,8 × 10 6 x 2 + 2400 x = 0

9,8 × 10 6 x 2 = 2400 x

x 3 = 9,8 × 10 6 2400

x = 9,8 × 10 6 2400 3 = 15,98 ≅ 16 m

2 quando isolamos a altura na equação do volume?

h = 2500 x 2

agora é só substituir

h = 2500 16 2 = 9,76 m

oba! Achamos!

x = 16 m

h = 9,76 m

mas será que esse ponto é ponto de mínimo?

Passo 4

Precisamos verificar se em torno do ponto x = 16 se a derivada função custo troca de sinal (de negativo para positivo)

Se testarmos a função derivada para, por exemplo, x = 1 , antes de x = 16 , vamos ter um valor negativo, e depois, por exemplo x = 20 , um valor positivo

Isso significa que em x = 16 temos um ponto de mínimo

Então as dimensões que tornam o custo mínimo são mesmo

x = 16 m

h = 9,76 m

E é isso pessoal! Espero ter ajudado! Vamos treinar mais?

Resposta

x = 16 m

h = 9,76 m

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