Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Ver Teoria

Enunciado

Um retângulo deve ser circunscrito em uma semicircunferência de raio 5 metros. Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais as suas dimensões?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Fica mais fácil se nós fizermos um desenhos. Han?

Caso se interesse: foi feito com o IPE editor Latex 😊

Vemos que:

25 = h 2 + x 2 → h = 25 - x 2

Sendo b = 2x, a base do retângulo.

E isso vai nos ajudar no próximo passo.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, sabemos que a área de um retângulo é dado por:

A = b * h

Substituindo o valor, temos:

A ( x ) = 2 x * h = 2 x 25 - x 2 = 2 25 x 2 - x 4

Assim, se queremos achar um ponto no qual uma função é máxima? Deriva a função e iguala a 0, depois ache o valor desse ponto.

Assim:

A ' x = 2 50 x - 4 x 3 25 x 2 - x 4   1 2 = 50 x - 4 x 3 25 x 2 - x 4

Igualando a 0:

50 x - 4 x 3 25 x 2 - x 4 = 0 → 50 x - 4 x 3 = 0 → x = 5 2

Passo 3

De forma que:

h = 25 - 5 2 2 = 5 2

Assim a área é:

A = 2 x * h = 2 * 5 2 * 5 2 = 25

Logo a maior área possível será alcançada quando A = 25   m 2

Resposta

A = 25   m 2

Exercícios de Livros Relacionados

Um fazendeiro quer cercar uma área de 15000m 2 em um campo retangular e então dividí-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerc
Encontre o ponto sobre a reta y = 4 x + 7 que está mais próximo da origem.
Se 1200c m 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.
Encontre, com precisão de duas casas decimais, as coordenadas do ponto na curva y = t a n ⁡ ( x ) que está mais próximo do ponto ( 1,1 )
Uma folha de papelão com medidas 24 × 36p o l . É dobrada ao meio para formar um retângulo de 24 × 18p o l . , como mostra a figura a seguir. Depois, quatro quadrados congruentes com lados medindo x s