Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

Sejam f ( x ) e g ( x ) as funções deriváveis traçadas aqui. O ponto c é onde a distância vertical entre as curvas é máxima. Há algo de especial em relação às tangentes às duas curvas em c ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos que o ponto c será um ponto de mínimo da distância entre os dois. Essa distância é puramente vertical, então:

s = f x - g ( x )

Sendo s a distância.

Passo 2

c estará presente em um dos pontos críticos. Então vamos derivar:

s ' = f ' x - g ' ( x )

Passo 3

Pontos críticos ocorrem onde a derivada não existe ou é zero. Ela sempre vai existir, pois f e g são deriváveis. Então, resta zero:

0 = f ' x - g x ⟹ f ' c = g ' ( c )

Passo 4

c será o ponto onde as derivadas são iguais. Agora vamos relembrar a equação da reta tangente a cada curva?

y - f c = f ' ( x ) ( x - c )

y - g c = g ' ( x ) ( x - c )

Se as derivadas são iguais, as retas tangentes a f ( x ) e g ( x ) diferem apenas da quantidade f ( c ) e g ( c ) . Portanto, elas tem a mesma inclinação, mas diferem na translação, ou seja, são retas paralelas.

Resposta

Retas tangentes paralelas

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