Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Problemas de Otimização

Dentre todos os triângulos isósceles circunscritos a um círculo de raio 3 existe um cuja área é máxima? E mínima? Se sim, qual é essa área? Justifique.

Passo 1

Vou começar esboçando essa situação e procurando uma fórmula para área, lembrando que uma figura circunscrita é uma figura por fora tangenciando a de dentro:

Nessa situação, eu chamei de b essas distâncias do ponto de tangência no círculo até o vértice superior e de a até os vértices inferiores. Por essa figura, a área total seria dada pelo seguinte, chamando os triângulos de cima de 1 e de baixo de 2 :

A = 2 A 1 + 4 A 2

A = 2 b . r 2 + 4 a . r 2

= b r + 2 a r

Sendo que a questão nos disse que r = 3 :

A = 3 b + 2 a

A questão agora é colocar as variáveis b e a uma em função da outra.

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Passo 2

Aí vamos usar uma semelhança de triângulos:

O triângulo verde e o vermelho tem dois ângulos iguais, o que faz com que mantenham a seguinte relação:

r a = b 2 + r 2 b + a = b b 2 + r 2 + r

Podemos achar uma relação entre a e b :

b + a a = b 2 + r 2 r

b a + 1 = b 2 + 9 3

b a = b 2 + 9 - 3 3

a = 3 b b 2 + 9 - 3

Assim, a área fica:

A = 3 b + 6 b b 2 + 9 - 3

Passo 3

Para otimizar essa função e analisar se existe máximo ou mínimo devemos derivar isso e igualar a 0 . Vamos derivar com ajuda da Regra do Quociente e da Cadeia:

A ' b = 3 1 + 6 b ' b 2 + 9 - 3 - 6 b b 2 + 9 - 3 ' b 2 + 9 - 3 2 = 0

1 + 6 b 2 + 9 - 3 - 6 b b b 2 + 9   b 2 + 9 - 3 2 = 0

6 b 2 + 9 - 18 - 6 b 2 b 2 + 9   b 2 + 9 2 - 6 b 2 + 9 + 9 = - 1

6 b 2 + 9 - 18 - 6 b 2 b 2 + 9 = - b 2 + 9 - 6 b 2 + 9 + 9

6 b 2 + 9 - 18 b 2 + 9 - 6 b 2 = 6 b 2 + 9 - 18 b 2 + 9 - b 2 b 2 + 9

6 b 2 = b 2 b 2 + 9

b = 0     o u   b 2 + 9 = 6

b 2 + 9 = 6 → b 2 + 9 = 36

b = 3 3

Achamos A 0 e A 3 3 como pontos críticos. Acontece que ao substituir b = 0 nós cairíamos numa indeterminação, ou seja, esse ponto não está definido no domínio da função A b . Porém, se calculássemos o limite, teríamos isso:

lim x → 0 ⁡ 3 b + 6 b b 2 + 9 - 3 = ∞

Para chegar nesse resultado basta trabalhar L’Hospital com o segundo termo dentro do parênteses, que cairia em indeterminação. Assim, o ponto que interessa mesmo para nós é o b = 3 3 . Ao analisar sinal de derivada antes e depois dele veríamos que ela é negativa antes e positiva depois, consistindo num ponto de mínimo da área!

Enfim, essa área mínima, que é o único ponto que achamos, será:

A 3 3 = 3 3 3 + 6 3 3 3 3 2 + 9 - 3

= 3 3 3 + 6 3 3 36 - 3

= 3 3 3 + 6 3 3 6 - 3

= 3 3 3 + 2 3 3

= 3 3 3 3

= 27 3

Resposta

N ã o   h á   p o n t o   d e   m á x i m o ; A   á r e a   m í n i m a   v a l e   A 3 3 = 27 3

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