Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Um publicitário está planejando um cartaz retangular que deve ter margens de 2 cm na parte superior e nos lados e uma margem de 3 cm na parte inferior. Por medida de economia, a área total do cartaz deve ser a menor possível, mas a área impressa deve ter 180 cm²: Quais devem ser as dimensões do cartaz? Justifique sua resposta!

Passo 1

Esquematizando o problema, chegamos na seguinte figura:

Veja que temos x + 4 no retângulo maior e x no menor para garantir a margem de 2 cm nos lados e y + 5 e y para garantir a margem de 2 cm em cima e 3 cm embaixo.

Assim sendo, a área do cartaz é, multiplicando os lados do retângulo maior: A = x + 4 y + 5

Temos, porém, duas variáveis na história. Temos que escrever uma em função da outra para poder otimizar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como faz isso? Só lembrar que a área do retângulo menor é 180 cm² e, portanto:

A m = x y = 180 ⟹ y = 180 x

Agora podemos substituir o valor de y em função de x :

A = x + 4 180 x + 5 = x + 4 5 x + 180 x = 5 x 2 + 180 x + 20 x + 720 x

= 5 x 2 + 200 x + 720 x

Passo 3

Queremos achar o ponto em que essa área é mínima, para isso precisamos achar os pontos críticos que ocorrem quando a derivada é zero ou não existe. Vamos derivar então:

A ' = 5 x 2 + 200 x + 720 x ' = 5 x 2 + 200 x + 720 ' x - 5 x 2 + 200 x + 720 x ' x 2

= 10 x + 200 x - 5 x 2 + 200 x + 720 x 2 = 10 x 2 + 200 x - 5 x 2 - 200 x - 720 x 2 = 5 x 2 - 720 x 2

Temos um ponto crítico em x = 0 , onde a derivada não existe. Nesse ponto, porém, a área impressa é zero, o que não nos interessa. Outros pontos críticos estão nos zeros da derivada, ou seja: 5 x 2 - 720 = 0 ⟹ 5 x 2 = 720 ⟹ x 2 = 144 ⟹ x = ± 12

Só nos interessa a parte positiva, pois não há medida negativa.

Passo 4

Já está quase tudo certo, só precisamos mostrar que esse ponto aí é um ponto de mínimo. Para tal, é mais vantagem usar o teste da segunda derivada. Veja que: A ' = 5 x 2 - 720 x 2 = 5 - 720 x 2

Derivando:

A ' ' = - - 2 ⋅ 720 x 3 = 1440 x 3

No ponto x = 12 : A ' ' 12 = 1440 12 3 > 0

Não precisa se preocupar com a conta. Só precisa mostrar que é positiva, pois, segunda derivada positiva no ponto crítico, pelo teste da segunda derivada, implica na presença de um ponto de mínimo, como queríamos mostrar.

Passo 5

Pelas relações dadas, temos que:

y = 180 x = 180 12 = 15

Essas são as dimensões da parte impressa. O cartaz terá:

l 1 = x + 4 = 16 c m l 2 = y + 5 = 20 c m

Resposta

l 1 = 16 c m l 2 = 20 c m

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